Logistisk vækst uden grænseværdi

#0. Det kommer an på koefficienterne, og hvor man starter. Typisk er der en øvre og nedre grænse, der adskiller løsningerne (se nedenstående tegning). 

Hvis man ser på det rent matematisk, det vil sige uden at det behøver, at have noget med virkeligheden at gøre, så kan man godt starte uden for disse grænser, og så kan løsningen divergere.

På nedenstående billede divergerer løsninger, der starter under den nedre røde linje.

Tak for svaret

I forhold til funktionen, der starter under den røde linje, er det ikke en hyperbel? og ikke en logistisk funktion?

Er stadigvæk i tvivl om, hvordan en logistisk funktion kan eksisterer uden en grænseværdi. Hvordan ville sådan en funktion se ud?

#2. Hvis vi nu starter fra grunden, så kan en logistisk differentiallignng skrives:

y' = a·y·(b - y), med startbetingelsen y(0) = c. Løsningen til dette er 

Her vil a, b og c være positive i realistiskle tilfælde, det vil sige, når man ser på antallet af dyr på en ø eller lignende. Når det er tilfældet, så vil man få en af det to øverste af de tre nedenstående kurver: 

Den øverste lilla kurve svarer til, at der fra starten er flere dyr på øen end, der levemuligheder for (eller c > b). Med tiden vil de nærme sig den øverste af de to røde linjer, der er lig med y = b.

Hvis 0 < c < b vil man få den blå kurve, der vokser op mod den øvre grænse. Dette er den, som man normalt ser.

Den nederste lilla kurve hører sammen med den øverste rent matematisk, men har ikke nogen fysisk fortolkning, da man ikke kan have negative antal. Som det ses, har denne kurve en lodret asymptote, som er

Tusind tak for hjælpen, det giver god mening. 

#3. En rettelse: For c ≠ 0 får man: 

For c = 0 får man y(x) = 0.

Hvis a = 0, så får man løsningen y(x) = c.

Hvis a < 0 får man en omvendt s-kurve, der aftager fra b til 0, når b > 0 og 0 < c < b. Når c < 0 eller c > b, så får man en kurve med to gerne, der begge vokser. Den gren der er ligger over y = b går mod uendelig, mens den der ligger under 0 går mod 0.

For b = c får man løsningen y(x) = b = c. 

For b < 0 får man b som nedre grænse i stedet for øvre, men i øvrigt det samme.

#3. Rettelse:...