Matematik

En population vokser logistisk, Vejen til Matematik A2, Opgave 320, Side 246, ( Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

29. februar kl. 14:47 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 320.

Om en population oplyses, at den vokser logistisk, og at dens størrelse efter meget lang tid nærmer sig 1000 individer. Til tidspunktet t = 8 er populationen y = 600 og væksthastigheden er 30.

a) Opskriv en differentialligning, der beskriver væksten.

--------------------------------------------------------------------------

Mit forsøg:

Først:

ligning Løsning

dy / dx = ay • ( M - y ) y = M / 1 + c • e^{- a • M • x}

dy / dx = a • y • ( M - y )

Jeg indsætter

M = 1000

y = 8

dy / dx = a • y • ( M - y ) ⇔

a • 600 • ( 1000 - 600 ) = 30

a • 600 • 400 = 30

a • 24000 = 30

a = 30 / 24000 = 1 / 8000.

Differentialligningen, der beskriver væksten er:

dy / dx = ( 1 / 8000) • y • ( M - y )

Det passer med facitlisten side 395.

Bestem en forskrift for y som en funktion af t.

Jeg indsætter:

y = 600

Tiden t = 8

_{600 = 1000 / 1 + c • e}- ( 1 / 8000) • 1000 • 8

_{600 = 1000 / ( 1 + c • 0,3678794 )}

600 • ( 1 + c • 0,3678794 ) = 1000

600 + c • 600 • 0,3678794 = 1000

c • 600 • 0,3678794 = 400

c = 400 ( 600 • 0,3678794) = 1,812188 ≈ 1,81219

Jeg indsætter

a = 1 / 8000

c = 1,812187

1000 1000 1000

y = ------------------------------------------------ = ---------------------------------------- ≈ -------------------------------------

1 + 1,81219 • e^{- ( 1 / 8000) • 1000 • t} ⁾1 + 1,81219• 1,133148 ^-^t 1 + 1,81219 • 1,13315^-t

Det passer med facitlisten side 395.

Hvor mange individer er der i populationen til tiden t = 35

Jeg indsætter t = 35

1000

y ( 35 ) = ------------------------------------------ = 377,69 ≈ 378

1 + 1,81219 • 1,13315 ^{- 35}

Det passer med facitlisten side 395.

d) Hvad er væksthastigheden til tiden t = 1 og til tiden t = 100

Mit forsøg:

Jeg differentierer forskriften for populationen y.

1000

y = ------------------------------------------

1 + 1,81219 • 1,13315^{- t}

( 1000 ) ' ( 1 + 1,81219 • 1,13315 ^- t ) - 1000 • ( 1 + 1,81219 • 1,13315 ^- t ) '

y ' = ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

( 1 + 1,81219 • 1,13315 ^- t) ²

Jeg anvender funktion f ( x ) = a^x og afledet funktion f (x ) = a • ln a

0 • ( 1 + 1,81219 • 1,13315 ^- t ) - 1000 • ( 0 + 1,81219 • 1,13315 ^- t • ln ( 1,13315 )

y ' = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

( 1 + 1,81219 • 1,13315^- t ) ²

- 1000 • 1,81219 • 1,13315^- t • ln ( 1,13315 )

y ' = -------------------------------------------------------------------

( 1 + 1,81219 • 1,13315 ^- t) ²

Jeg indsætter tiden t = 1

- 1000 • 1,81219 • 1,13315^- 1 • ln (1,13315 )

y ( 1 ) = -------------------------------------------------------------- = -114,17

( 1 + 1,81219 • 1,13315^- 1 ) ²

Jeg kan se at det er forkert.

I facitlisten side 395 er facit 29,589.

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert i opgave d).

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
29. februar kl. 15:27 af jl9

Man kan også regne det med den oprindelige differentialligning:

$y'(1)=a \cdot y(1) \cdot (M-y(1)) = \frac{y(1) \cdot (1000-y(1))}{8000}$

Hvor y(1) kan bestemmes på samme på som y(35)

Brugbart svar (1)

Svar #2
29. februar kl. 15:30 af peter lind

Du gør det lidt besværlig for dig sel,

prøv at bruge differentialligningen direkte altså

dy / dx = ay • ( M - y )

Brugbart svar (1)

Svar #3
29. februar kl. 16:45 af peter lind

Et tip til hvordan du kan finde fejl, når du kender det rigtige resultat.

Jeg har nemlig lagt mærke til at du ofte har et resultat som du ud fra facitlisten ved er forkert.

Gå ind på midten og foretag udregningen der evt. med dit CAS værktøj. Hvis dette er rigtig er fejlen på den sidste halvdel. Hvis det er forkert er der en fejl på den første halvdel. Nu har du indsnævret det til at fejlen er er på havdelen af det oprindelige interval. Derefter går du ind oå det interval hvor fejlen er og gentager proceduren. På den måde kan du hurtig finde hvor fejlen er og kan derefter prøve at finde den

Svar #4
29. februar kl. 17:09 af ca10

Tak for svaret

1000

y ( 1 ) = --------------------------------------------- = 384,7263 ≈ 384,726

1 + 1 + 1,81219 • 1,13315^-1

dy / dt = ay • ( M - y )

Jeg indsætter

y ( 1 ) = 384,726

M = 1000

a = 1 / 8000

384,726 • ( 1000 - 384,726 )

dy / dt = -------------------------------------------- = 29,5889 ≈ 29,559

8000

Det passer med facitlisten side 395

1000

y ( 100 ) = --------------------------------------------- = 999,993247564

1 + 1,81219 • 1,13315^-100

Det indsættes :

999,993247564 • ( 1000 - 999,993247564 )

dy / dt = -------------------------------------------------------------- = 0,00084404 ≈ 0,00844

8000

Resultatet afhænger åbenbart, af hvor mange antal tal efter decimalkommaet der anvendes.

Det passer med facit.

I de øvrige opgaver i kap V. Differentialligninger 321, 322, 323, 324 skal der anvendes et værkstøjsprogram, et sådan program har jeg ikke til rådighed.

Tak for hjælpen

Svar #5
29. februar kl. 19:56 af ca10

Til Svar # 3 peter lind

Tak for svaret.

Når jeg går igang med en opgave, starter jeg med at læse opgaven og dernæst tager jeg en kopi af opgaveteksten og facitlisten.

Jeg går igang med at løse spørgsmålene i opgaven og dernæst sammenligner jeg min løsning med facitlisten. Så jeg bruger facitlisten til at kontrollere om min løsning rigtig eller forkert.

Derefter prøver jeg igen for at se om jeg har læst opgaveteksten rigtig og hvis der tilfældet går jeg min løsning igennem for at om der er sket en regnefejl. I de fleste tilfælde opdager jeg at der er tale om en tastefejl eller regnefejl, også går jeg videre til næste spørgsmål.

Hvis jeg ikke kommer videre med opgaven stiller jeg spørgsmålet på Studieportalen.

Dit svar:

"Gå ind på midten og foretag udregningen der evt. med dit CAS værktøj. Hvis dette er rigtig er fejlen på den sidste halvdel. Hvis det er forkert er der en fejl på den første halvdel. Nu har du indsnævret det til at fejlen er er på havdelen af det oprindelige interval. Derefter går du ind oå det interval hvor fejlen er og gentager proceduren. På den måde kan du hurtig finde hvor fejlen er og kan derefter prøve at finde den"

Jeg må indrømme jeg forstår ikke dit svar.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #6
29. februar kl. 20:29 af jl9

Hvad får du y(35) til at være i opgave c) ?

Brugbart svar (1)

Svar #7
29. februar kl. 20:37 af jl9

man kan også tegne grafen til løsningen y og se om hældningen er positiv eller negativ

Vedhæftet fil:Untitled.png

Brugbart svar (1)

Svar #8
29. februar kl. 20:59 af AMelev

#4 Du kan evt. benytte Wordmat og/eller Geogebra, som er gratis. Der er god hjælp at finde til konkrete problemløsninger på Google for begge.

ad d) Fejlen er, at 1,13315^- t skal differentieres som en sammensat funktion: (a^-x)' = -ln(a)·a^-x. FS(136)
Alternativt brug potensreglen $1,13315^{- t}=\frac{1}{1,13315^t}=(\frac{1}{1,13315})^t=0.882496^t$

Svar #9
29. februar kl. 21:26 af ca10

Tak for svaret

Til Svar # 6. ji9

c). Hvor mange individer er der i populationen til tiden t = 35

Jeg indsætter t = 35 i y.

1000

y ( 35 ) = ------------------------------------------ = 377,69 ≈ 378

1 + 1,81219 • 1,13315 ^{- 35}

Det passer med facitlisten side 395.

Til Svar #8 AMelev

Tak for svaret

Det prøver jeg.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #10
29. februar kl. 23:04 af ringstedLC

#5 Vedr. fejlfinding; eksempel:

Der er 11 linjer fra start til et forkert resultat. Vi regner med at linje 1 er korrekt afskrevet. Altså er der mindst en fejl i mellemregningerne.

- Indsæt din løsning i linje 5. Hvis ligningen nu opfyldes har du sikkert regnet rigtigt fra linje 5 og ned. Derfor må fejlen(e) ligge højere oppe. Du opfatter altså linje 5 som den første linje i opgaven og laver kontrol af din løsning.

- Indsæt så din løsning i midten af den fejlramte halvdel, altså linje 3 eller 8 og afgør igen om du skal op eller ned for at komme til den fejlberegnede linje.

Metoden kaldes for halveringsprincippet og er en effektiv og sikker måde at foretage fejlfinding i en kæde af beregninger eller andre handlinger.

Svar #11
01. marts kl. 09:26 af ca10

Tak for svaret

Skriv et svar til: En population vokser logistisk, Vejen til Matematik A2, Opgave 320, Side 246, ( Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.