"
>

Renters rente

Renters rente, som en del af rentesregning, er måske et udtryk, der kan skræmme nogen. Men i virkeligheden er det ikke så kompliceret. Renters rente beskrives også som rentes rente.

Renters rente betyder blot, at kapital forrentes flere gange til en konstant rentefod. Når rente første gang tilskrives det oprindelige beløb, så vokser beløbet. Derfor er det beløb, som renten anden gang beregnes på baggrund af, større.

Navnet kommer af, at man ikke kun tillægger rente af sin opsparing eller gæld, men at man efter første rentetilskrivning også tillægger rente af renten. 

Lad os starte med et simpelt eksempel:

Hvis man har en opsparing på \(100\) kr., der tillægges en rente på \(10 \%\) p.a., udgør renten i år \(1\):

\(\frac{100 \; kr.}{100 \%} \cdot 10 \% = 10\) kr.

Der skal tilskrives en rente på \(10\) kr., og opsparingens samlede størrelse er efter år \(1\):

\(100\) kr. + \(10\) kr.  = \(110\) kr.

Opsparingens størrelse, som man får \(10 \%\) i rente p.a. af, er nu \(110\) kr.

Det vil sige, at man efter år \(2\) får en rentetilskrivning på:

\(\frac{110 \; kr.}{100 \%} \cdot 10 \% = 11\) kr.

Samlet opsparing efter år \(2\):

\(110\) kr. + \(11\) kr. = \(121\) kr.

Efter det første år en rentetilskrivning på \(10\) kr., og efter det andet år en rentetilskrivning på \(11\) kr.

Den ekstra \(1\)-krone det andet år er så at sige renters rente.

Renters rente formel

Den formel, man benytter til at beskrive renters rente, er renteformlen. Den ser således ud:

\(K_n = K_0(1 + r)^n\)

Logikken er, at man skal tillægge renten \(r\) til den oprindelige mængde kapital til starttidspunktet \(K_0\), for derved at kunne udregne kapitalens størrelse \(K_n\) i \(n\) antal terminer.

\((1 + r)\) kendes også som fremskrivningsfaktoren.

For nogen kan det fremme forståelsen, hvis eksemplet ovenfor opstilles således:

\(K_2 = 100(1 + 0,10)(1 + 0,10) \Leftrightarrow K_2 = 121\)

Efter \(2\) terminer (år) skal beløbet \(100\) kr. ganges med beløbet plus renten på \(10 \%\) i alt \(2\) gange.

I et andet eksempel er kapitalens samlede størrelse efter \(4\) terminer (\(K_4\)) lig med kapitalen til starttidspunktet (\(K_0\)) gange med sig selv (\(1\)) plus renten (\(r\)) i alt \(4\) gange.

\(K_4 = K_0(1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r)\)

Som det ses af renters rente formlen, kan \((1 + r) (1 + r) (1 + r) (1 + r)\) skrives som \((1 + r)^4\).

Renters rente benyttes primært til at beskrive størrelse på kapital og tilvækst (eksempel 1 og 2). Men den kan også beskrive mange andre ting, der vokser eksponentielt som eksempelvis en bakteriekultur (eksempel 3).

Renters rente har også især betydning i forbindelse med rentetilskrivning (se artiklen Rente) og hvor hyppigt den foregår, som det fremgår af en beregning af rentetilskrivningen i eksempel 4.

I artiklen Rentesberegning kan du finde omskrivninger af renteformlen og se eksempler på de fire varianter af formlen og tilhørende udregninger.

Eksempel 1

Sara arvede \(40.000\) kr. fra sin bedstemor, der døde da Sara var \(4\) år. Saras mor besluttede, at pengene skulle gemmes til Sara var færdig med gymnasiet.

Saras mor satte pengene i banken, hvor Sara fik \(1,75 \%\) i årlig rente. \(r = \frac{1,75 \%}{100 \%} = 0,0175\) 

Pengene fik lov til at stå på kontoen i \(14\) år, inden Sara kunne hæve dem. Hvor mange penge kan Sara hæve?

\(K_n = 40.000 \; kr. (1 + 0,0175)^{14} \Leftrightarrow K_n = 50.996,67 \; kr.\)

Dermed er Saras opsparing vokset fra \(40.000\) kr. til lige under \(51.000\) kr. på \(14\) år.

Eksempel 2

Sofia overvejer om hun skal optage et studielån. Sofias studie starter \(1\). februar, og hun påtænker at låne indtil jul det første år. Derefter satser hun på at finde et studiejob.

Sofia ved, at hun først får råd til at afdrage på lånet, når hun er færdig med at studere. Renten på studielån er \(4 \%\) p.a. i de år hun læser \((r = 0,04)\).

Sofia har besluttet sig for, at hun maximalt vil skylde \(40.000\) kr. når hun er færdig med at studere om \(5\) år. Hvor mange penge kan Sofia ’tillade’ sig at låne når det antages, at rentetilskrivningen er én gang pr. år?

  \(K_n = K_0(1 + r)^n\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_0 = \frac{K_n}{(1 + r)^n}\)
\(\Downarrow\)
  \(K_0 = \frac{40.000 \; kr.}{(1 + 0,04)^5}\)
\(\Updownarrow\)
  \(K_0 = 32.877,08 \; kr.\)

Dermed kan Sofia regne sig frem til, at hvis hun maximalt vil have en gæld på \(40.000\) kr. om \(5\) år, så må hun første år låne \(32.877,08\) kr.

Det første år er der i alt \(11\) måneder, og taksten for SU-lån er \(2.943\) kr. pr. måned.

Kan Sofia få SU-lån udbetalt i alle \(11\) måneder?

\(11 \cdot 2.943 \; kr. = 32.373 \; kr.\)

Ja, det beløb, som Sofia har mulighed for at låne, overstiger ikke hendes krav.

Hvad kommer Sofia præcis til at skylde om \(5\) år, med en månedlig udbetaling på \(2.943\) kr. i \(11\) måneder?

\(K_n = 32.373 \; kr. \cdot (1 + 0,04)^5 \Leftrightarrow K_n = 39.386,70 \; kr.\)

Hvis Sofia får SU-lån i \(11\) måneder det første år, vil hun om \(5\) år skylde \(39.386,70\) kr.

Eksempel 3

Benjamin observerer en bakteriekultur over en periode på \(48\) timer. I begyndelsen er størrelsen på kulturen \(3000\) bakterier pr. \(cm^2\). Hver time vokser kulturen med \(12 \%\), det vil sige \(r = 0,12\).

Hvor stor er bakteriekulturen efter de to døgn som observationen løber over?

\(K_n = 3000 (1 + 0,12)^{48} \Leftrightarrow K_n = 691.172,33\)

Det vil sige, at bakteriekulturen er forøget fra \(3.000\) til mere end \(690.000\) bakterier pr. \(cm^2\), på blot to døgn.

Eksempel 4

Alex har købt en ny bil og skal derfor låne \(195.000\) kr. i banken. Alex finder tre forskellige banker, hvor rentetilskrivningen varierer.

I bank \(1\) skal han betale \(1 \%\) i rente pr. kvartal (\(r = 0,01\) pr. termin).

I bank \(2\) skal han betale \(2 \%\) i rente pr. halvår (\(r = 0,02\) pr. termin).

I bank \(3\) skal han betale \(4 \%\) i rente pr. år (\(r = 0,04\)).

Alex vil lave et \(10\)-årigt lån. Har det betydning, hvilken bank Alex vælger?

Bank \(1\):

Når rentetilskrivning er pr. kvartal, er der \(4\) terminer på et år. På \(10\) år er der: \(4 \cdot 10 = 40\) terminer.

\(K_n = 195.000 \; kr. \cdot (1 + 0,01)^{40} \Leftrightarrow K_n = 290.328,43 \; kr.\)

Bank \(2\):

Ved rentetilskrivning pr. halvår, er der \(2\) terminer på et år. På \(10\) år er der: \(2 \cdot 10 = 20\) terminer.

\(K_n = 195.000 \; kr. \cdot (1 + 0,02)^{20} \Leftrightarrow K_n = 289.759,74 \; kr.\)

Bank \(3\):

Rentetilskrivning er pr. år. \(10\) år = \(10\) terminer.

\(K_n = 195.000 \; kr. \cdot (1 + 0,04)^{10} \Leftrightarrow K_n = 288.647,64 \; kr.\)

Alex skal vælge bank \(3\) for at få det billigste lån.

Grunden til, at bank \(3\) er billigst, trods de tilsyneladende tilsvarende renter, er, at rentetilskrivningen er mindst hyppig, og at renters rente derfor er mindre.