bevis

Det, du mener, er lim(n->0+)1/n = oo, mens lim(n->0-)1/n = -oo.

Ved brug af terminologien

A = alle
E = eksisterer
~ = tilhører

skal vi bevise, at

A§ > 0 E m ~ N An~N : n >= m => |0-a_n| < §, hvor §>0 er givet.

Det springer os i øjnene, at |0-a_n| = 1/n og 1/n < § <=> n > 1/§.

Hvis vi vælger m således, at m > 1/§, så gælder der n>=m => n<1/§ og dermed |0-a_n| < §.
Dette giver god mening, da der for ethvert tal m~R findes et tal n~N således, at n > r.

Så mangler vi iøvrigt entydigheden. Den er intuitivt indlysende.
"Jeg skal bevise at den har en grænseværdi" - her skal du benytte sætningen, som siger at en talfølge højst kan have én grænseværdi.

Det kan umiddelbart bevises indirekte. Jeg vil gøre sådan her:
Betragt talfølgen {a_n}, hvor n = 1,2,..., og antag, at den har grænseværdien a' og a''. Nu vil jeg vise, at denne hypotese medfører absurditet.

Vælg § |a''-a'|/2, således §>0, da a'' er forskellig fra a'. Da a_n -> a' for n -> oo, findes der et N'~N, således n >= N' => |a'-a_n|<§, og da a_n ->a'' for n->oo, findes der et N''~N, således n >= N'' => |a''-a_n| < §. Lad n~N. således n >= N' og n >= N'', får vi trekantsuligheden
|a''-a'|=|a''-a_n+a_n -a'| <= |a''-a_n| + |a_n -a'| < 2§ = |a'' - a'|, hvilket er absurd.

Jeg fatter ikke så meget af det du skriver, men det er sikkert rigtigt nok eftersom jeg har set dine andre besvarelser.

Det er en gym-opgave.. kan det passe at jeg skal have alt det der med? det virker meget strengent! og på et højt niveau

jeg mangler stadig en
når n->oo for n-> oo, hvordan bevises det?