Matematik

Rum-integral

24. april kl. 13:52 af SuneChr - Niveau: A-niveau

Der er givet en vertikal cirkulær cylinder i rummet med grundfladen beliggende i xy-planen,
radius 1 og centrum (0 , 0 , 0) .
Cylinderen er afskåret ved fladen:
f(x , y) = y² - x² + 2x + 3
Rumfanget ønskes beregnet af cylinderen begrænset af xy-planen og fladen beskrevet ved f(x , y) .

Her er så spørgsmålet: Rumfanget skulle angiveligt være ca. 2,36 hvilket jeg formoder kan være ^3π/₄ .
Har opstillet integralerne i to udgaver:

$\int_{x=-1}^{1}\int_{y=-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\left ( y^{2}-\left ( x-1 \right )^{2} +4\right )\textup{d}y\textup{d}x$ og

$\int_{\Theta =-\pi }^{\pi }\int_{r=0}^{1}r\left ( \left ( r\sin \Theta \right )^{2}-\left ( r\cos \Theta-1 \right )^{2}+4 \right )\textup{d}r\textup{d}\Theta$

Begge udgaver giver 3π , altså fire gange det angivne 2,36 (lig med, antagelsesvis ^3π/₄) .

Hvis facit 2,36 står til troende, hvor kan uoverensstemmelsen da ligge?

Brugbart svar (0)

Svar #1
24. april kl. 20:42 af jl9

Med et plot af f(x,y) ser det da rimeligt ud, at gennemsnits værdien af f inden for enhedscirklen i (x,y) er 3; altså cylinderhøjden h. Og så med cylindervolumen V = π·r²·h...

Kan der være skrevet forkert i facit eller i forskriften for f?

Brugbart svar (0)

Svar #2
24. april kl. 21:02 af ringstedLC

Fladen afskærer jo næsten intet af den lave cylinder, så facit eller oplysningerne må være forkerte.

Vedhæftet fil:_0.png

Svar #3
25. april kl. 01:24 af SuneChr

Tak for indlæggene.
Opgaven forefindes i notesblade fra DTU og er skrevet rigtigt af, også det angivne facit ca. 2,36 .
Der er først forespurgt rumfanget af cylinderen afgrænset en plan med skrå afskæring.
Det er, ved efterregning, korrekt med angivne facit. Dernæst stilles opgaven med nævnte
afskæring f(x , y) . Der er i al fald diskrepans et eller andet sted.

Svar #4
25. april kl. 01:48 af SuneChr

# 3 fortsat
SP 250420240149.PNG

Vedhæftet fil:SP 250420240149.PNG

Skriv et svar til: Rum-integral

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.