Hvordan udregner formel (169)

Hej,

Er det i spørgsmål a) eller b)?

Jeg sidder desværre med en ældre formelsamling, hvor formelnumrene ikke passer.

Hej igen, 

Super, så er jeg med:)

Arealet under grafen for en funktion f, i et interval fra a til b, [a, b], er defineret ved et integralet ∫_a^bf(x)dx, hvor f(x) > 0 for alle x i [a, b].

Formlen (kaldet Integralregningens Hovedsætning) siger, at hvis F er en stamfunktion til f, som betyder at

F '(x) = f(x), så regnes arealet ud ved

∫_a^bf(x)dx = F(b) - F(a).

Vi har af opgaven givet en regneforskrift for f. 

Heraf kan vi finde en stamfunktion til f, altså en funktion, der differentieret giver os f.

F(x) = (1/4)·x⁴, da den afledede funktion til (1/4)·x⁴ er (4/4)·x^4-1 = 1·x³ = x³ = f(x).

Arealet, A(M₁), af det skraverede område findes altså ved

A(M₁) = ∫₀²f(x)dx = ∫₀²x³dx = F(2) - F(0) = (1/4)·2⁴ - (1/4)·0⁴ = (1/4)·16 - (1/4)·0 = 4 - 0 = 4.

Altså er arealet afgrænset af x-aksen og grafen for f i intervallet [0, 2] lig med 4.