En funktion

Svaret er "nej" til begge spørgsmål. Man skal løse ligningen

        x⁴ + 8x³ + 18x² + 16x + 5 = 0 .

Der er tale om at finde rødder i et 4.-gradspolynomium. Man taler kun om diskriminant i forbindelse med 2.-gradsligninger. Polynomiets heltallige koefficienter har ingen fælles faktorer, så man kan ikke forkorte ligningen.

Derimod ser man, at summen af koefficienterne til leddene af lige grad er lig med summen af koefficienterne til leddene af ulige grad, hvorfor x = -1 er en rod i polynomiet. Man kan derfor ved polynomiers division reducere ligningen til en ligning af 3. grad.

Skal jeg starte med at reducere ligningen til en ligning af 3. grad? 

#2

Ja, ved at dividere 4.-gradspolynomiet f(x) med (x+1) .

Opgaven kan løses ved at faktorisere polynomiet  f(x) = x⁴ + 8x³ + 18x² + 16x + 5 .

Jeg får:

x = -5  og  x = -1

#4

Hvordan får du det?

Maple. Jeg satte ligningen ind også trykkede jeg på solve.

#6

Det er næsten lige så godt som at kigge i facitlisten. Du må jo så argumentere for, at det er korrekt.

Men det skal siges at det er tilladt at bruge hjælpemidler i denne opgave. Men jeg prøver selvfølgelige også med hånden. 

#8

Ja, selvfølgelig.

Hvad mener du med faktorisere?

Man kan vel regne opgaven ud vhj. af nulreglen? 

#10

Ja, netop. For at kunne benytte nulreglen skal man først faktorisere polynomiet.

f'(x) = 4x³ + 24x² + 36x + 16x

f''(x) = 12x²+ 48 + 36

#12

Nej, det er ikke korrekt.

#12 --> Det korrigererede er heller ikke korrekt, hverken for f '(x) eller for f ''(x) .

I forbindelse med bestemmelsen af monotoniforholdene for f(x) skal man løse ligningen f '(x) = 0 .

Men hvordan ville du løse den? hvorfor er den korrigererede forkert?

#15

Du har ikke differentieret korrekt. For f '(x) har du to led med x, og for f ''(x) har du to konstante led. Det er muligvis tastefejl, men det skrevne er ikke korrekt.

Ved løsningen af ligningen f(x) = 0 finder man faktoriseringen

        f(x) = (x+1)³·(x+5)

og dermed har man så

        f '(x) = 3·(x+1)²·(x+5) + (x+1)³ = (x+1)²·(3x+15 + x+1) = 4·(x+1)²·(x+4)

hvilket forenkler løsningen af ligningen f '(x) = 0 .

Ja, jeg er med på at f(x)=x+1^3 · (x+5) = -1 og -5

Men hvordan er man kommet frem til det? 

- i 2'eren skal man så finde f'(x)= af denne ligning: 

f(x)= x4+8x2+18x2+16x+5?

#17

Det er forklaret i #1 og #3. Det er forkert at skrive, at det er lig med -1 og -5. Der mangler parentes omkring (x+1) .

Du sjusker generelt med potenserne i polynomierne. Der er ikke tale om en ligning, men om et polynomium

        f(x) = x⁴ + 8x³ + 18x² + 16x + 5 ,

som man kan differentiere umiddelbart, eller ved at benytte faktoriseringen i #16.

Set # 16 :
Rod med multiplicitet 3
Eget indlæg derfor slettet.

Okay. Hvis der så stod

Find f(x) = 2 

Hvordan ville man så regne den ud? Hvordan vil det se ud?