Matematik

Areal af punktmængde

22. september 2014 af majsingym (Slettet) - Niveau: A-niveau

OPGAVEN ER UDEN HJÆLPEMIDLER! Håber nogen kan hjælpe

Der er givet en funktion f(x)=x^(3)-4x
Grafen for f(x) afgrænser med førsteaksen en punktmængde, der har et areal.
a) Bestem arealet af denne punktmængde.

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. september 2014 af mathon

Beregn først grafens nulpunkter.

Brugbart svar (0)

Svar #2
22. september 2014 af PeterValberg

Løs først ligningen f(x) = 0 for at finde integrationsgrænserne.
Som det fremgår af vedhæftede skitse, så har f rødder i x = -2, x = 0 og x = 2

Arealet af punktmængden (det skraverede) kan bestemmes som:

$A=\int_{-2}^0{f(x)dx}-\int_0^2{f(x)dx}$

det sidste led er negativt, fordi delarealet er beliggende under x-aksen

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Vedhæftet fil:Unavngivet.jpg

Svar #3
22. september 2014 af majsingym (Slettet)

Hvordan mener du med at løse ligningen f(x)=0?

Brugbart svar (0)

Svar #4
22. september 2014 af mathon

f(x) = x³ - 4x = x · (x² - 4) = x · (x² - 2²) = x · (x + 2) · (x - 2)

f(x) = 0

x · (x + 2) · (x - 2) = 0
dvs
x = -2 v x = 0 v x = 2

så du har - som anvist i #2

$A=\int_{-2}^0{f(x)dx}+\int_0^2{-f(x)dx}$

$A=\int_{-2}^0{f(x)dx}-\int_0^2{f(x)dx}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. september 2014 af mathon

som grundet symmetrien
giver
$A=\int_{-2}^0{f(x)dx}-\int_0^2{f(x)dx}=2\cdot \int_{-2}^0{f(x)dx}$

Brugbart svar (0)

Svar #6
22. september 2014 af PeterValberg

Brug den generelle regel for polynomier på hvert led i forskriften for f, når du integrerer:

$\int{p\cdot x^n\,dx}=\left(\frac{p}{n+1} \right )\cdot x^{n+1}$

jeg har undladt integrationskonstanten, da det er et bestemt integrale, du "har gang i" :-)

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Brugbart svar (0)

Svar #7
22. september 2014 af mathon

dvs
$A=2\cdot \int_{-2}^{0}\left ( x^3-4x \right )dx=2\cdot \left [ \frac{1}{4}\cdot x^4-2x^2 \right ]_{-2}^{0}=\frac{1}{2}\cdot \left [ x^4-8x^2 \right ]_{-2}^{0}=$

$\frac{1}{2}\cdot \left ( 0^4-8\cdot 0^2-\left ( \left (-2 \right )^4-8\cdot \left (-2 \right )^2 \right ) \right )=\frac{1}{2}\cdot \left ( \left0- (16-32 \right ) \right )=\frac{1}{2}\cdot 16=8$

Svar #8
22. september 2014 af majsingym (Slettet)

Så har jeg denne, som også driller mig :-)

Grafen for funktionen f med forskriften f(x)=9-x^(2)og grafen for funktionen g med forskriften g(x)=x+3 afgrænser en punktmængde, der har et areal.
a) bestem punktmængdens areal.

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. september 2014 af PeterValberg

• Løs ligningen f(x) = g(x) for at finde integrationsgrænserne.

• Undersøg om f > g eller g > f i integrationsintervallet

• Hvis f > g i intervallet (hvilket er tilfældet),
så bestemmes arealet af det afgrænsede område som:

$A_M=\int_a^b{(f(x)-g(x))dx}$

- - -

mvh.

Peter Valberg
(YouTube)

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2014-09-23 kl. 06.21.14.png

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Den opgave har du også kørende i denne tråd

https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1519023

hvor du har fået flere svar.

Skriv et svar til: Areal af punktmængde

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.