funktion med reskrition

Du skal finde minimum og maksimum for funktionen på definitionsmængden. Du skal også undersøge den på randen x² + y² = 9 .

Man har

        f(x,y) = x² + 2y² -2y = x² + y² + y·(y-2)

På randen har man så

        f_rand(y) = 9 + y·(y-2) = (y-1)² + 8 , -3 ≤ y ≤ 3 .

På randen er f(x,y) er 2.-gradspolynomium i y med minimumsværdi 8 og maksimumsværdi 24 .

Den samlede funktion har derfor minimum i det indre stationære punkt og maksimum i randpunktet (0;-3) .

ok tak prøver igen så

Hej igen. 

Jeg tror simpelthen ikke jeg forstår. Sidder stadig med den.Har du lyst til at forklare mig det?

#3

Funktionen er kontinuert og defineret på en begrænset og afsluttet mængde, nemlig den lukkede cirkelskive med centrum i (0,0) og radius 3. Funktionen har derfor både et maksimum og et minimum. Disse ekstremer kan antages enten i det indre af definitionsmængden eller på dens rand. Hvis et ekstremum antages i det indre, vil det være i et stationært punkt.

Derfor finder man først de stationære punkter, og der er det ene punkt (0;1/2) , hvor funktionsværdien er f(0;1/2) = -1/2 .

Dernæst undersøges funktionen på definitionsmængdens rand. På randen er x² + y² = 9 . På randen gælder der derfor

        f(x,y) = x² + y² + y·(y-2) = 9 + y·(y-2) = y² -2y + 9 = (y-1)² + 8 ,

og på randen vil y variere mellem -3 og 3, begge værdier inklusive.

Polynomiet (y-1)² + 8 har minimum i sit toppunkt ved y = 1, hvor funktionsværdien er 8. Polynomiet har maksimum på intervallet [-3;3] i et af de to intervalendepunkter, og man finder f(.,-3) = 24 og f(.,3) = 12 .

Vi kan derfor konkludere, at funktionen f(x,y) = x² + y² + y·(y-2) på mængden x²+y² ≤ 9 har minimumsværdien -1/2 og maksimumsværdien 24.

Hej igen. Beklager men jeg er med indtil det sidste led, men hvordan får du lige pludselig (y-1)²+8 ?

#5

Man benytter en kvadratsætning.

        y² -2y + 9 = y² -2y + 1 + 8 = (y-1)² + 8