Matematik
Integralregning og areal mundtlig eksamen
Redegør for begrebet stamfunktion, og hvad er sammenhængen mellem areal og stamfunktion
Forklar brugen af bestemt integral
1)
Defintion af integralregning (stamfunktion)
Integralregning er det modsatte af differentialregning.
At integrere er det samme som at finde en stamfunktion. Stamfunktioner har betegnelsen F(x), så stamfunktioner betegnes altså med F(x)
Det gælder, at F(x) er en stamfunktion til f(x), når F'(x)=f(x). Stamfunktionen differentieret skal give vores funktion
F(x)=ex+x5+7 er en stamfunktion til f(x)=ex+5x4
F'(x)=(ex+x5+7)'=ex+5x4
Når man integrerer en funktion, så er det, fordi man gerne vil finde stamfunktionen
Integraler skrives som F(x)=∫f(x)dx
dx betyder, at man integrerer med hensyn til x
F(x)=∫(ex+2x+5)=ex+1/2*2*x1+1+5x+k=ex+x2+5x+k
En funktion har uendelig mange stamfunktioner
f(x)=2x integreres til F(x)=x2+k, hvor k kan antage alle værdier, dvs. F(x)=x2+100, F(x)=x2+7, F(x)=x2-7 osv. alle er stamfunktioner til f(x). Når man tager konstanten og differentierer den, vil den give 0
Forskellen mellem stamfunktioner til en funktion er konstanten k
Ubestemte integraler
Ubestemte integraler bruges til at finde stamfunktioner ved integration. Et ubestemt integral giver altså en stamfunktion
Ubestemt integrater findes ved ∫f(x)dx
Ubstemte integraler har ingen integralgrænser, dvs. skærringer med x-aksen
Bestemte integraler
Bestemte integraler giver modsat ubestemte integraler et tal
Bestemte integraler findes ved ∫baf(x)dx
Bestemte integraler skrives som F(x)=ba∫f(x)dx=[F(x)]ba=F(b)-F(a). Når man har fundet stamfunktionen til et bestemt integral, så sætter man B ind på F(x)s plads og A ind på F(x)s plads og trækker dem fra hinanden
Et bestemt integral giver en talværdi. Den talværdi er arealet, der ligger under funktionen. Det gælder kun, hvis funktionen er positiv i intervallet [a;b]. Arealet ligger over x-aksen.
Arealberegning ved hjælp af bestemte integraler
Der kan beregnes arealer ved hjælp af bestemte integraler
Mit regneeksempel
42(2x-3)dx
A=F(4)-F(2)
F(x)=2*1/2*x1+1-3x
F(x)=x2-3x
F(4)=42-3*4=4
F(2)=22-3*2=-2
A=F(4)-F(2)=4-(-2)=4+2=6
Arealet af grafen mellem x=2 og x=4 er 6
Det er eksamensspørgsmål. Det ville være en stor hjælp, hvis der eventuelt var en der lige kunne kigge det igennem og komme med forslag til, hvad jeg ellers kan komme ind på. Hvis der nu er noget godt stof, jeg har glemt at inddrage
Tusind tak på forhånd
Du mangler vel en del beviser :)
∫ f(x) dx --> dx betyder ikke mht x, men skal forstås som den lille forskel i x når Δx→0
Mvh Dennis Svensson
Svar #3
06. maj 2016 af 123434
Sætning: Hvis F(x) er en stamfunktion til f(x), så må alle stamfunktioner af typen F(x)+c, hvor c er en konstant, være stamfunktion til f(x). Forskellen mellem to stamfunktioner er konstanten c
F(x)'=f(x) Det ligger i definition af en stamfunktion, at F'(x)=f(x)
(F(x)+c)'=F(x)'+c'=F'(x)+0=f(x) Konstanten differentieres til 0, og F(x) differentieres til f(x)
F(x) og F(x)+c differentieres begge til f(x) og er derfor begge stamfunktioner til f(x)
Svar #4
06. maj 2016 af 123434
Regneregler for bestemt integral sumreglen
∫baf(x)+g(x))dx=∫baf(x)dx+∫bag(x)dx
Højre side:
∫baf(x)dx+g(x)dx=[F(x)+G(x)]ba=F(b)+G(b)-(F(a)+G(a))=F(b)+G(b)-F(a)-G(a)
Venstre side
∫baf(x)dx+∫bag(x)dx=[F(x)]ba+[G(x)]ba=F(b)+F(a)-(G(b)+G(a))=F(b)+F(a)-G(b)-G(a)
Hvad er det, der går galt i mit bevis. Jeg laver en gentagende fejl
Skriv et svar til: Integralregning og areal mundtlig eksamen
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.