Matematik

Eksponentielle og lineær funktioner

11. december 2023 af Hoff1902 - Niveau: B-niveau

For en given bil aftager værdien af bilen eksponentielt. Det oplyses at værdien til købstidspunktet var 350.000 kr. Endvidere oplyses det, at værdien 3 år efter købet var faldet til 210.000 kr.

a) Opstil en model for sammenhængen mellem alder og værdi

b) Bestem bilens værdi efter 7 år

c) Hvor lang tid går der efter købet, før bilens værdi er på 100.00 kr.?

I må meget gerne bruge mellemregninger

Brugbart svar (0)

Svar #1
11. december 2023 af Moderatoren

Det er vel dig, der skal lave den?

Hvis du beskriver dine problemer, så kan hjælperne komme med gode hints

Svar #2
11. december 2023 af Hoff1902

Jeg forstår ik hvordan jeg skal lave den når en eksponentiel funktion består af en procent

Brugbart svar (1)

Svar #3
11. december 2023 af mathon

$\begin{array}{lllllll} \textbf{a)}\\&\textup{eksponentiel }\\& \textup{sammenh\ae ng:}\\&& f(x)=b\cdot \left ( 1+r \right )^x\\&\textup{hvor}\\&& f(x)\textup{ er bilens v\ae rdi i antal tusinde kroner}\\&&\textup{og }x\textup{ er antal \aa r efter k\o bet.}\\\\&& 210=350\cdot \left ( 1+r \right )^3 \Leftrightarrow r=-0.156567\\&\textup{dvs}\\&&f(x)=350\cdot 0.843433^x \end{}$

Brugbart svar (1)

Svar #4
11. december 2023 af M2023

#0. a) Modellen er: f(x) = b·a^x, hvor f(x) er værdien af bilen i kr, og x er antal år efter købstidspunkt.

Man har ligningerne: f(0) = 350.000 og f(3) = 210.000 til at finde a og b. Disse ligninger løses med hensyn til a og b:

b·a⁰ = 350.000 ∧ b·a³ = 210.000 ⇔

b = 350.000 ∧ 350.000·a³ = 210.000 ⇔

a = (210.000/350.000)^1/3 ∧ b = 350.000 ⇔

a = 0,843 ∧ b = 350.000

Dermed er f(x) = 350.000·0,843^x

b) Man skal finde f(7) = 350.000·0,843⁷ = 106.270. Det vil sige, at bilens værdi er 106.270 kr. efter 7 år.

c) Man skal løse f(x) = 100.000 med hensyn til x. Man har:

350.000·0,843^x = 100.000 ⇔

0,843^x = 100.000/350.000 ⇔

x·ln(0,843) = ln(2/7) ⇔

x = ln(2/7)/ln(0,843) ⇔

x = 7,3

Det vil sige, at der går 7,3 år før bilens værdi er faldet til 100.000 kr.

Brugbart svar (0)

Svar #5
11. december 2023 af ringstedLC

#2
Jeg forstår ik hvordan jeg skal lave den når en eksponentiel funktion består af en procent

$\begin{align*} f(x) &= b\cdot \bigl(1+\tfrac{p_\%}{100\%}\bigr)^x \\f(x)&=b\cdot \bigl(1+r\bigr)^x \end{align*}$

Procenten kan omregnes til et decimaltal som vist i #3:

$\begin{align*} f(3)=210 &= 350\cdot \bigl(1+r\bigr)^3 \\ \frac{210}{350} &= \bigl(1+r\bigr)^3 \\ \sqrt[3]{\frac{210}{350}} &= 1+r \\ r &= \sqrt[3]{\frac{3}{5}}-1=-0.156567 \\ r\cdot 100\%=p_\% &= -15.6567\%=-\tfrac{15.6567}{100} \\\\ f(x) &= 350\cdot (1-0.156567)^x= 350\cdot \bigl(1-\tfrac{15.6567}{100}\bigr)^x \\ f(x) &= 350\cdot 0.843433^x \end{align*}$

Skriv et svar til: Eksponentielle og lineær funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.