Matematik

Sidder fast på Differentialregning

03. januar kl. 18:38 af ThoTho - Niveau: A-niveau

Hej :)

I billedet jeg har vedhæftet til opslaget kan man se den opgave jeg har vanskeligheder med. Jeg forstår at jeg skal bevise at når x er middelværdien er hældningen 0 på tæthedsfunktionen for normalfordelingen hvilket jo giver god mening. Jeg skal bruge nulreglen i sidste trin hvor jeg tror ideen er, at de andre to led ikke kan være 0, (fordi i brøken er nævneren positiv, og i det andet led er det et tal opløftet i e?) Det eneste jeg ikke forstår i hele beviset er det vigtigste: Hvordan når man fra tæthedsfunktionen til formlen lige under den røde tekst, altså hvordan differentierer jeg tæthedsfunktionen med kædereglen. Det svømmer rundt med tal for mig. Er der nogen der kan prøve at hjælpe mig igennem trinvist?

Tak!

Vedhæftet fil: Differentialregning til 7.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. januar kl. 19:46 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
03. januar kl. 19:58 af peter lind

Skal det absolut være ved brug af differentialregning? Det kan nemlig meget nemmere vises ved lidt omtanke.

Det væsentlige er en funktion af typen e^f(x). Eksponentialfunktionen er en monoton voksende funktion, så funktionen har maksimum når f(x) har maksimum og det er tydeligvis for x=μ. Hvis du absolut vil differentiere får du (e^f(x))' = e^f(x)*f'(x). Se evt. din formelsamling

Brugbart svar (0)

Svar #3
03. januar kl. 20:03 af ringstedLC

med lidt omskrivning af eksponenten (og nulreglen):

$\begin{align*}f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot\sigma}\cdot e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2} \\ f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot\sigma}\cdot \biggl(e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2}\biggr)' \\ \biggl(e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2}\biggr)' &= e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2}\cdot \Bigl(-\tfrac1 2\cdot\tfrac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\Bigr)' \\ \Bigl(-\tfrac1 2\cdot\tfrac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\Bigr)' &= -\tfrac1 {2\,\sigma^2}\cdot \Bigl((x-\mu)^2\Bigr)' \\ &= -\tfrac1 {2\,\sigma^2}\cdot \bigl(x^2+\mu^2-2\mu x\bigr)' \\ &= -\tfrac1 {2\,\sigma^2}\cdot \bigl(2x-2\mu\bigr) \end{align*}$

$\begin{align*} \Bigl(-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2\Bigr)' &= -\tfrac1 {\sigma^2}\cdot \bigl(x-\mu\bigr) \\ f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot\sigma}\cdot e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2} \cdot \bigl(-\tfrac1 {\sigma^2}\bigr)\cdot \bigl(x-\mu\bigr) \\ f'(x) &= -\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot\sigma^3}\cdot e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2} \cdot \bigl(x-\mu\bigr) \\f'(x)=0 &= x-\mu &\Rightarrow x=\mu \end{align*}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
04. januar kl. 00:21 af lkj944

#3
med lidt omskrivning af eksponenten (og nulreglen):

$\begin{align*}f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot\sigma}\cdot e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2} \\ f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot\sigma}\cdot \biggl(e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2}\biggr)' \\ \biggl(e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2}\biggr)' &= e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2}\cdot \Bigl(-\tfrac1 2\cdot\tfrac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\Bigr)' \\ \Bigl(-\tfrac1 2\cdot\tfrac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\Bigr)' &= -\tfrac1 {2\,\sigma^2}\cdot \Bigl((x-\mu)^2\Bigr)' \\ &= -\tfrac1 {2\,\sigma^2}\cdot \bigl(x^2+\mu^2-2\mu x\bigr)' \\ &= -\tfrac1 {2\,\sigma^2}\cdot \bigl(2x-2\mu\bigr) \end{align*}$

$\begin{align*} \Bigl(-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2\Bigr)' &= -\tfrac1 {\sigma^2}\cdot \bigl(x-\mu\bigr) \\ f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot\sigma}\cdot e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2} \cdot \bigl(-\tfrac1 {\sigma^2}\bigr)\cdot \bigl(x-\mu\bigr) \\ f'(x) &= -\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot\sigma^3}\cdot e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2} \cdot \bigl(x-\mu\bigr) \\f'(x)=0 &= x-\mu &\Rightarrow x=\mu \end{align*}$

Jeg sidder med samme opgave og samme problem. Jeg forstår lidt af hvor du vil hen her, men jeg har svært ved selv at sætte ord på, hvilket er en fordel at kunne når det skal præsenteres mundtligt :D

1. Du har opskrevet tæthedsfunktionen

2. Du markerer, at du gerne vil differentiere det led, der er e^x

3. Her forstår jeg ikke hvad du vil med at differentiere på begge sider

4. Du omskriver det led jeg ikke forstår hvor kommer fra, bruger en kvadratsætning og differentierer så hvor 2my ses som en konstant

5. Her har du divideret med to på højre side af lighedstegnet og fået spredning^2 til at blive spredning^1 på venstre side af lighedstegnet - det fanger jeg ikke helt hvordan

6. Du reducerer det fundne udtryk

7. Du konkluderer, at for at f'(x) = 0 må x = my

Kan du hjælpe mig med at udfylde hullerne? Tusind tak!

Brugbart svar (1)

Svar #5
04. januar kl. 01:22 af ringstedLC

2. Det er en faktor.

3. Den differentiable faktor differentieres som en sammensat funktion m. kædereglen:

$\begin{align*}f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot\sigma}\cdot \biggl({\color{Red} e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2}}\biggr)' \\ \biggl({\color{Red} e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2}}\biggr)' &= e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2}\cdot \Bigl(-\tfrac1 2\cdot\tfrac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\Bigr)' \end{align*}$

4. Den indre funktion differentieres:

$\begin{align*}\Bigl(-\tfrac1 2\cdot\tfrac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\Bigr)' &= -\tfrac1 {2\,\sigma^2}\cdot \Bigl((x-\mu)^2\Bigr)' \\ &= -\tfrac1 {2\,\sigma^2}\cdot \bigl(x^2+\mu^2-2\mu x\bigr)' \\ &= -\tfrac1 {2\,\sigma^2}\cdot \bigl(2x-2\mu\bigr) \\\Bigl(-\tfrac1 2\cdot\tfrac{(x-\mu)^2}{\sigma^2}\Bigr)' &= -\tfrac1 {\sigma^2}\cdot \bigl(x-\mu\bigr) \end{align*}$

5. Der ændres ?ikke noget på venstresiden. Dog er sidste linje nu opstillet, så tæller og nævner er kvadreret hver for sig. På højresiden sættes "2" uden for parentesen og forkortes væk i brøken.

6. Den samlede diff.-kvotient:

$\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot\sigma}\cdot e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2} \cdot \bigl(-\tfrac1 {\sigma^2}\bigr)\cdot \bigl(x-\mu\bigr) \\ f'(x) &= -\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}\cdot\sigma^3}\cdot e^{-\tfrac1 2\cdot\bigl(\tfrac{x-\mu}{\sigma}\bigr)^2} \cdot \bigl(x-\mu\bigr) \\f'(x)=0 &= x-\mu &\Rightarrow x=\mu \end{align*}$

Skriv et svar til: Sidder fast på Differentialregning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.