Differentialligning og en væskedråbe i rummet, Vejen til Matematk A2, Opgave 315, Side 245, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Brug dit CAS værktøj

Alternativt. Brug seperation af variable. d.v.s.

Du deler med R² og ganger med dt

dR/dt = k*R² <=>  dR/R² = k*dt

Derefter integrere du på begge sider af lighedstegnet

Tak for svaret

Til Svar #1, peter lind

Jeg har TI - 89 Titanium til rådighed, jeg ved ikke om den fungerer som CAS værktøj. Hvis den ikke er CAS-værktøj er den mulighed udelukket.

Men jeg vil forsøge med at bruge separation som du foreslår.

På forhånd tak

#0

Opgave 315. I et område uden tyngdekraft, som fx i en rumstation vil en væskedråbe være kugleformet når den hænger frit i luften. Hvis en sådan dråbe består af et flygtigt stof, vil den fordampe. I en model for størrelsen af en dråbe antager, man at dens radius R aftager på af fordampningen på en sådan måde, at ændringshastigheden for radius er proportional med dråbens overfladeareal.

a, Opskriv en differentialligning der beskriver dråbens ændring i radius.

Kuglens overfladeareal er  O = 4 π R²
Ændringshastigheden af radius er propotional med overfladen, så R' = k·O = 4 π·k· R²

Så differentialligningen er: , altså som du også på en (for mig lidt 
uforståelig måde) kom frem til

R ' = k • 4 • π • R²

For en bestemt dråbe oplyses, at radius tIl t = 0 er 5,0 mm og at væksthastigheden til dette tidspunkt er -0,0010.
R(0) = 5 og R'(0) = -0.0010
Ifølge differentialligningen er altså  4 π·k· R(0)² = -0.0010 ⇔ 100π·k = -0.0010⇔ , 
dvs. at differentialligningen med k indsat hedder R'= -4/10⁵·R² 

b. Bestem en forskrift for R som funktion af tiden.
Jeg har ikke den fjerneste ide om hvordan bestemmer en sådan forskrift.
Benyt dit CASværktøj til at løse R'= -4/10⁵·R² med randbetingelsen R(0) = 5.
Hvad du konkret skal gøre, afhænger af, hvilket CAS-værktøj du benytter. 

#2 Du kan godt løse differentialligninger på TI89.
Se denne TI89-manual side 196 (side 213 i pdf-filen)

Tak for svaret

Til Svar# 3 og 4 AMelev

Jeg ser nærmere på det.

Hvis den måde jeg bestemte differentialligning i a er uforeståelig må du gerne vise den korrekte fremgangsmåde.

På forhånd tak

Det har jeg gjort med det, der er markeret gult.
Du differentierer V, i stedet for direkte at benytte O. Det er for mig uklart, hvorfor du gør det, og hvorfor V' = O.

Tak for svaret

Til Svar r#6 , AMelev

Jeg ser nærmere på det.

På forhånd tak

Til Svar # 3 AMelev

Jeg har prøvet at følge den anvisning der i TI89-manual side 196 (side 213 i pdf-filen)

Jeg har foretaget følgende indtastning:

deSolve (r' = -4 /( 10² r² ) , t , r )

og jeg får følgende løsning:

r = -5 • ( 3 • t - 25000 •@ 1)) ^{1 / 3} / 50

Den løsning ser forkert ud, så det er muligt at min indtastning der er gjort forkert.

Jeg har istedet prøvet som det bliver forslået i #Svar1, peter lind.

Alternativt. Brug seperation af variable. d.v.s.

Du deler med R² og ganger med dt

dR/dt = k*R² <=>  dR/R² = k*dt

Derefter integrere du på begge sider af lighedstegnet

dR / dt = k • R² 

dR / R² = k • dt 

∫ 1 / R² dR  =  ∫ k dt + c

∫ R^-2 dR      =  ∫ k dt + c

- R ^-1           = k • x + c

   R ^-1           = - k • x - c 

1 / R            = - k • x + c

1                  = ( - k • x + c) • R

R =   1 ( - k • x - c )

               1

R = ---------------------                       Jeg indsætter k =( - 1 / 10⁵ π )

          - k • x - c 

                  1

R = --------------------------

     - ( - 1 / 10⁵ π ) - c

Jeg kan godt se at det er forkert, men jeg har ikke noget bedre bud.

Mit spørgsmål er, at jeg vil gerne se hvordan man ved at foretage separation og derefter integrerer at man kommer frem til at løsningen er:

                25000

R ( t ) = ---------------,

               t + 5000

for jeg kan ikke komme frem til den rigtige løsning

På forhånd tak

#8 Den indtastede differenialligning er forkert,  jf #3.

desolve(r'=-4/10⁵•r²,t,r)

Når du så har r(t), skal du bruge r0)=5 til at bestemme @1.

Til Svar #9 , AMelev

Jeg forstår ikke dit svar.

"#8 Den indtastede differenialligning er forkert,  jf #3."

"desolve(r'=-4/10^5•r2,t,r)

Når du så har r(t), skal du bruge r0)=5 til at bestemme @1"

Hvordan skal man bære sig ad?

Mit spørgsmål er, er der nogen der kan vise hvordan bestemmer en forskrift for R som funktion af tiden, for uanset om jeg så fortsatte til juleaften kan jeg ikke bestemme den forskrift.

På forhånd tak

Tak for svaret

Til Svar 11, mathon

Det prøver jeg.

På forhånd tak

#10 Du har skrevet deSolve (r' = -4 /( 10² r² ) , t , r ). Det skal være 10⁵, ingen parentes og *r².
Hvis du hellere vil, så skriv -4*r^2/10^5.

#11 TI89 kan ikkke tage randbetingelsen med i desolve.

deSolve(r'=(−4/(10^5)*r^2,t,r) ? r=25000/(t-25000n1)
solve(5=25000/(0-25000*n1)),n1) ? n1=−1/5

Tak for svaret

Mine spørgsmål er

Jeg har foretaget følgende indtasning i Ti-89 som der står i Svar # 11, og jeg får derefter følgende løsning:

deSolve( y ' = - 4/ 10⁵ • y² and y(0)=5,t,y) = 1 / 5 - 1/y  = - t / 25000

Den løsning ser anderledes ud end løsningen i Svar#11 - mathon

Jeg har foretager indtastning som der står i Svar #13, og jeg får derefter følgende løsning:

deSolve ( r' = -4/(10⁵) r²,t,r)  Error: Argument error 

At der står Error: Argument er det der svarer til at deSolve(r'=(−4/(10^5)*r^2,t,r) ? r=25000/(t-25000*n1), hvor der står spørgsmålstegnet - ?.

Mit spørgsmål er hvordan fremkommer følgende:

r=25000/(t-25000*n1).

Når jeg indtaster følgende:

solve(5=25000/(0-25000*n1)),n1)

Når jeg indtaster:

solve(5=25000/(0-25000*n1)),n1) er svaret i TI-89

Too few arguments

Esc = cancel

Mit spørgsmål er, hvad er det der går galt, når jeg foretager indtastning som anvises i Svar#11 og Svar #13.

På forhånd tak

#14 Jeg har ikke brugt TI89 i mange år, så jeg kan ikke huske de præcise ordrer.
Har du læst den side 196 i http://www.sorenr.dk/filer/Ti-89%20Dansk%20Manual.pdf, hvor der står, hvordan man løser differentiallininger med TI89?
Måske skal variablen hedde y (i stedet for r).

Alternativt med separation af variable:
 

Bestemmelse af c1: t = 0 og r = 5 indsættes
 

#14

, og jeg får derefter følgende løsning:

deSolve( y ' = - 4/ 10⁵ • y² and y(0)=5,t,y) = 1 / 5 - 1/y  = - t / 25000

Den løsning ser anderledes ud end løsningen i Svar#11 - mathon

Omskrivning:

Tak for svaret

Til Svar #14 ringsedLC. ja kan godt se at det er en fejl.

Det jeg har brugt er  TI89-manual side 196 (side 213 i pdf-filen) og ikke Svar #11.

På forhånd tak

Rettelse

Jeg indtaster følgende i TI - 89 uden mellemrum (mellemrummene her er gjort for at man kan se hvad der står):

deSolve ( y' = - 4 / 10⁵ * y² and y(0) = 5 ,t ,y) = 1 / 5 - 1 / y = - t / 25000.

Min fejl er at jeg stirede mig blind på 1 / 5 - 1 / y = - t / 25000 istedet for at foretage omskrivningen.

Jeg har fulgt Svar # 17,  ringsedLC omskrivning og foretaget omskrivning af

dette med papir og blyan og får isoleret y kommer jeg frem til

   1           1                    t

------- -   ------   =  - ----------------

   5            y               25000

     1                t                1

- ------ = - --------------- - ----------      ( ganger igennem med -1)

     y           25000             5

   1                t                1

 ------ =  --------------- +  ----------     

     y           25000             5

                     t                1

     1  = ( --------------- +  ---------- )  • y    (isolerer y)

                  25000             5

                             1     

    y = --------------------------------------

                  t                        1

           -------------   +  --------------

             25000                    5     

                               1

y = ------------------------------------------

                      5 t + 25000

                   -----------------------

                         125000

             125000

y =  ---------------------    (forkorter i tæller og nævner med tallet 5 )

           5t +25000

            25000

y = ------------------

         t + 5000.

Jeg håber at min omregning er foretaget korrekt selvom den ser lidt omstændig ud.

På forhånd tak

Korrekt, men ad omveje. Lad dog fællesnævneren være 25000.

Tak for svaret

Til Svar # 19, ringstedLC

Det har jeg noteret.