Matematik

Population af havmåger - differentialligning, Vejen til Matematik A2, Opgave 319, Side 246, ( Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

27. februar kl. 13:14 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 319

Væksten af en population af havmåger beskrives ved differentialligningen:

dy / dt = 0,0045y ( 12 - y )

hvor y er antal måger i tusinder, og t er tiden i år.

a) Hvad er væksthastigheden til det tidspunkt, hvor der 8000 måger ? .

_____

Se evt vedhæftede fil med opgaveteksten og facit. Jeg mener der er trykfejl i opgaveteksten.

Mit forsøg

Jeg mener, der må være tale om en trykfejl for der kan ikke være tale om 8000 måger

for når man ser på dy / dt = 0,0045y ( 12 - y )

Så har man følgende:

Ligning Løsning

dy / dx = ay ( M - y ) y = M / ( 1 + ce^-aMx)

dy / dt = 0,0045y ( 12 - y ) hvor M = 12 for når x bliver meget stor vil den aftagende ekspontialfunktion i nævneren blive meget lille, og y vil nærme sig M. Der er tale om mætningsvækst, fordi y nærmer sig en mætningsvækst M. Så y kan ikke blive større end 12. Og sætter man y = 8000 i differentialligningen får man 0,0045 • 8000 ( 12 - 8000 ) = -287568.Så tallet 8000 er forkert.

Jeg indsætter y = 8:

dy / dt = 0,0045 • 8 ( 12 - 8 ) = 0,144

Det passer med facitlisten side 395

Det oplyses, at til tiden t = 0 er populationen y = 7.

b) Bestem en forskrift for y som funktion af t

7 = 12 / ( 1 + c • e^{- 0,0045 • 12}^{• 0} )

7 = 12 / ( 1 + c )

7 + 7c = 12

7c = 5

c = 0,714286

Jeg indsætter c = 0,714286:

_{y = 12 / ( 1 + 0,714286 • e}-0,0045 • 12 • t)_{= 12 / (1 + 0,714286 • 1,05548^-t}_{) ( Anvender potensregel: ( a^r)^s = a^{r • s}}

Det passer med facitlisten side 395

c) Hvor mange måger er der efter 60 år?

_{y = 12 / (1 + 0,714286 • 1,05548}-60 ) _{= 11,66 ≈ 11,7 måger.}

I facitlisten side 395 står der 11673, det må være en trykfejl, for M = 12 der er mætningsgrænsen, så må det rigtige facit være 11,7.

d) Til hvilket tidspunkt er der 11000 måger ?

Det må være tale om en trykfejl, det kan ikke være 11000 måger, men 11 måger

Mit forsøg

_{11 = 12 / (1 + 0,714286 • 1,05548}-t )

_{11 • (1 + 0,714286 • 1,05548^-t ) = 12}

_{11 + 11 • 0,714286 • 1,05548^-t}_{= 12}

11 + 7,857146 • 1,05548^-t = 12

7,857146 • 1,05548^-t = 1

1,05548^-t = 1 / 7,857146

log ( 1,05548^-t) = log (1 / 7,057146 )

-t • log ( 1,05548 ) = log (1 / 7,857146 )

t = -1 • (( log (1 / 7,857146 ) / ( log ( 1,05548 ) = 38,1775 ≈ 38,2 ≈ 38

Altså, der er 11 måger efter 38,2 år. eller 38 år

I facitlisten side 395 er facit 38 år.

e) Hvad sker der med populationen, når t bliver meget stor ?

Mit forsøg:

_{y ' ( t ) = (12 / ( 1 + 0,714286 • 1,05548}- t)'

_{(12 )' • ( 1 + 0,714286 • 1,05548^-t) - 12 • ( ( 1 + 0,714286 • 1,05548 ^-^t)}_'

_{= ----------------------------------------------------------------------------------------------------------}

_{(( 1 + 0,714286 • 1,05548^-t)) ²}

- 12 • ( ( 0 - ( 0,714286 • 1,05548^-t • ln (1,05548)

_{= -------------------------------------------------------------------------------------}

((_{1 + 0,714286 • 1,05548} -t)) ²

y ' ( t ) = 0

- 12 • ( ( 0 - ( 0,714286 • 1,05548 ^{- t}• ln (1,05548)

= -------------------------------------------------------------------------- = 0

(( 1 + 0,714286 • 1,05548 ^-t)) ²

= -12• 0,714286 • 1,05548^- t• ln (1,05548) = 0

= -0,46281 • 1,05548^-t = 0

1,05548^-t= 0

log ( 1,05548^-t) = log ( 0 )

Problemet er, at den er underdefineret

Jeg er kørt fast.

Mit spørgsmål er, for det første har jeg ret i at der må være tale om trykfejl i opgave 319, og for det andet

hvordan bestemmer man hvad der sker med populationen når t bliver meget stor, for man kan intuitivt se følgende

y ( t ) → 12 , t → ∞ , M = 12 så når t → ∞ så nås mætningsgrænsen M = 12

men matematisk skal man jo vise, hvad der sker med populationen når t bliver meget stor ?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 319.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
27. februar kl. 13:25 af AMelev

Væksthastigheden er dy/dt, så ja indsæt y = 8, da y angiver antal tusind måger, og beregn.
Hvorfor kan der ikke være 8000 måger?

Brugbart svar (1)

Svar #2
27. februar kl. 14:12 af M2023

#0. Jeg indsætter et redigeret billede.

#1. Bemærk at opgaven vrøvler. Der står, at populationen er lig med y. Dette er ikke tilfældet, idet y = population/1000.

Vedhæftet fil:2085693.png

Brugbart svar (1)

Svar #3
27. februar kl. 14:14 af ringstedLC

Der er ikke trykfejl:

$\begin{align*} y &= 1=1000\,\textup{m\aa ger} \end{align*}$

e) Da y som du skriver, er en voksende funktion (logistisk vækst), giver det ingen det mening at forsøge at løse y ' = 0

Du kan eventuelt som i din tidligere opgave om en population https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2085182 vise monotonien for y '.

Svar #4
27. februar kl. 16:10 af ca10

Til Svar # M2023

Burde differentialligningen så være

dy / dt = 0,0045 • ( y / 1000 ) • ( 12 - y / 1000 )

Indsætter y = 8000

dy / dt = 0,0045 • ( 8000 / 1000 ) • ( 12 - 8000 / 1000 ) =144000

Væksthastigheden er 144000 måger.

I facitlisten står der 0,144

Forskriften for y som funktion af t burde den så ikke være:

_{y = 12000 / (1 + 0,714286 • 1,05548}-t )

_{y = 12000 / (1 + 0,714286 • 1,05548}-60 ) _{= 11673}

Det passer i såfald med facitlisten.

Til hvilket tidspunkt er der 11000 måger ?

11000 = 12000 / (1 + 0,714286 • 1,05548^-t )

11000 • (1 + 0,714286 • 1,05548^-t ) = 12000

11000 + 11000 • 0,714286 • 1,05548^-t = 12000

11000 + 7857,146 • 1,05548-t = 12000

7857,146 • 1,05548^-t = 1000

1,05548^-t = 1 / 7857,146

log ( 1,05548^-t ) = log (1000 / 7857,146 )

-t • log ( 1,05548 ) = log (1000 / 7,857146 )

t = -1 • (( log (1000 / 7857,146 ) / ( log ( 1,05548 ) = 38,177 ≈ 38 år

Som så passer med facitlisten.

Det kan godt være der ikke er trykfejl i opgaven, men i så fald er teksten i opgaven uklart formuleret.

Svar #5
27. februar kl. 16:17 af ca10

Til Svar # 3 ringstedLC

"Du kan eventuelt som i din tidligere opgave om en population https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2085182 vise monotonien for y '."

Jeg synes at det er det jeg har forsøgt, i spørgsmål e, men det er ikke lykkedes.

Jeg vil gerne se hvordan man så viser, hvad der sker med populationen, når t bliver meget stor, for jeg kan ikke.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #6
27. februar kl. 17:27 af Martin2Holte

Det bliver meget nemmere hvis man betragter de 1000 måger som en enhed og afkorter den som kMåger.

I Mathematica giver det denne formel: fStreg[y_] := 0.0045*y*(12 - y);

Så får man tilvæksten til 0.14 kMåger/år:

Og fStreg bliver til 0 hvis y= 12 kMåger (12-y=0).

Brugbart svar (1)

Svar #7
27. februar kl. 17:55 af Martin2Holte

Og hvis jeg løser den med Mathematica får jeg denne funktion, som er anderledes end funktionen fra facitlisten, men giver samme resultat for 60 år, 11 kMåger og værdien for store antal år:

y(t)=1/(0.08333333333333333 + 0.05952380952380952* E^(-0.054* t))

Her er Mathematica koden:

diffeq = y'[t] == 0.0045*y[t]*(12 - y[t]);

(*Angiv den indledende betingelse*)
initialCondition = y[0] == 7;

(*Løs differentialligningen*)
solution = DSolve[{diffeq, initialCondition}, y[t], t]

(*Forenkle løsningen,hvis det er nødvendigt*)
simplifiedSolution = solution // FullSimplify

Så der er ingen trykfejl i opgaven.

Svar #8
27. februar kl. 18:00 af ca10

Til Svar # 6 og 7 Martin2Holte

Jeg har ikke det matematikprogram du anvender.

Brugbart svar (1)

Svar #9
27. februar kl. 18:14 af AMelev

#2
#1. Bemærk at opgaven vrøvler. Der står, at populationen er lig med y. Dette er ikke tilfældet, idet y = population/1000.
Der står der da ikke, der står, at populationen kan beskrives med den angivne differentialligning.

Svar #10
27. februar kl. 18:44 af ca10

Tak for svaret

Jeg kan forstå at der ikke er trykfejl i opgaven.

Det er så mig der ikke har læst opgaven godt nok.

jeg har lavet en aflæsningsfejl i a)

dy / dt = 0,0045 • ( y / 1000 ) • ( 12 - y / 1000 )

Indsætter y = 8000

dy / dt = 0,0045 • ( 8000 / 1000 ) • ( 12 - 8000 / 1000 ) = 0,0045 • 8 • ( 12 - 8 ) = 0,144

Så facitlisten passer.

Væksthastigheden er 0,144 måger.til det tidspunkt, hvor der er 8000 måger.

Jeg har prøvet igen at løse spørgsmål e, men jeg kommer ingen vegne.

Jeg vil gerne se hvordan man så løser opgave e) da jeg ikke kan.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #11
27. februar kl. 18:54 af AMelev

#0
b) $y=f(x)=\frac{12}{1+0.714286\cdot e^{-0.054x}}= \frac{12\cdot (1.05548)^x}{(1.05548)^x+0.714286}$ , som du fik.

c) Husk, at y angiver antal 1000 måger - gælder også i d)
f(60) = 11.6734. Altså var der efter 60 år 11 673 måger

d) Tidspunkt for 11 000 måger, dvs. y = 11, som giver løsningen 38.17. Efter ca. 38 år er der 11000 måger iflg. modellen

e) Efterhånden som tiden går nærmer mågebestanden sig sin øvre grænse på 12 000 individer.

Brugbart svar (1)

Svar #12
27. februar kl. 19:23 af AMelev

#10 Der er flere måder, hvorpå du kan gøre rede for, at populationens øvre grænse er 12 000.

1. Generelt gælder det for en logistisk vækst, at den øvre grænse er tælleren i forskriften
2. Du kan bestemme $\lim_{x\rightarrow \infty }f(x)$
3. Du kan tegne grafen med stort x-interval, indlæggge værdien for M og se, at grafen nærmer sig denne linje
4. Du kan lave en tabel over (x,f(x)), hvor du lader x vokse med fx en faktor 10, og se, at funktionsværdierne nærmer sig M.
x: {1,10,100,1000,10000}
f(x): {7.15676,8.47309,11.9614,12.,12.}

Brugbart svar (1)

Svar #13
27. februar kl. 19:47 af M2023

#9. #1. Bemærk at opgaven vrøvler. Der står, at populationen er lig med y. Dette er ikke tilfældet, idet y = population/1000. Der står der da ikke, der står, at populationen kan beskrives med den angivne differentialligning.

Der sætte i teksten lighedstegn mellem y og population som vist:

Her skulle have stået: y = 7 og populationen dermed = 7000.

Vedhæftet fil:population.png

Svar #14
28. februar kl. 14:14 af ca10

Til Svar# 3 ringstedLC

Da y som du skriver, er en voksende funktion (logistisk vækst), giver det ingen det mening at forsøge at løse y ' = 0

Du skrive "( Du kan eventuelt som i din tidligere opgave om en population https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2085182 vise monotonien for y '.) "

Men da funktionen i her i opgave 319 er:

_{y = 12 / ( 1 + 0,714286 • e}-0,0045 • 12 • t) = 12 / (1 + 0,714286 • 1,05548^-t)

Som jeg prøvede tidligere at bestemme y ' ( t ) = 0, men som sagt da y er en voksende funktion ( logistisk vækst ) giver det ingen mening at forsøge løse y ' = 0, så umiddelbart ved jeg ikke hvordan forsøget i opgave 318 kan overføres til opgave 319.

Svar # 12 AMelev

1. Generelt gælder det for en logistisk vækst, at den øvre grænse er tælleren i forskriften

2. Du kan bestemme lim f ( x )

x → ∞

3. Du kan tegne grafen med stort x-interval, indlæggge værdien for M og se, at grafen nærmer sig denne linje

Jeg har tegnet grafen (I TI-Tiannium 89 ) og indlagt M = 12 så kan man se grafen nærmer sig denne linje.

4. Du kan lave en tabel over (x,f(x)), hvor du lader x vokse med fx en faktor 10, og se, at funktionsværdierne nærmer sig M.

---------------------

Tabel:

t y ( t )

1 7,1567

10 8,473

100 11,961

osv osv

Monotonilinje

t 1 10 100

-------------------------------------------------------------------------------------------

y ( t ) + + +

Ud fra monotoni linjen kan man vel sige således:

lim y ( t ) = 12 ( i tusinder) eller y ( t ) → 12 når t → ∞

t → ∞

Mit spørgsmål er, ovenstående bestemmelse ud fra monotoni linje tilstrækkelig til at bestemme, hvad der sker med populationen, når t bliver meget stor eller skal der mere til ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #15
29. februar kl. 11:13 af ringstedLC

#13 Inden da, står der at y = antal måger i tusinder. Altså k(ilo)-måger som det forslås. Desuden er der lighedstegn mellem y og "7", ikke mellem popul. og y.

Brugbart svar (1)

Svar #16
29. februar kl. 11:13 af ringstedLC

#5 Du prøver at løse y '(t) = 0, "render så ind i" ln(0) og stopper, hvilket er fornuftigt.

Men du differentierer forkert ved at bruge kvotientreglen. "12" er en konstant, ikke en funktion.

Ved brug af selve diff.-ligningen:

$\begin{align*} y'=0.0045\,y\,\bigl(12-y\bigr)=0 &= -0.0045\,y^2+0.054\,y \\ 0.0045\,y^2 &= 0.054\,y \\ 0.0045\,y &= 0.054\;,\;y\neq 0 \\ y &={\color{Red} 12} \quad\Rightarrow t\in \left \{\; \right \} \quad(\textup{den tomme m\ae ngde}) \end{align*}$

for den konstanst voksende funktion har selvfølgelig ingen værdier hvori hældningen er "0".

$\begin{align*} y' &= -0.0045\,y^2+0.054\,y \\ y''=0 &= -0.009\,y+0.054 \\ y &= \frac{0.054}{0.009} \\y=6 &= \frac{{\color{Red} 12}}{2} \end{align*}$

da hældningen af logistisk vækst er størst ved M / 2.

Brugbart svar (1)

Svar #17
29. februar kl. 11:14 af ringstedLC

I din tidligere opgave brugtes funktionsværdien og monotonien for N ' til at vise, at N er konstant aftagende.

Her vil du vise, at y er konstant voksende og mindre end "M". Det kræver:

$\begin{align*} y' &\geq 0 \\ -0.0045\,y^2+0.054\,y &\geq 0 \\ 0.0045\,y &\leq 0.054 &&\Rightarrow y\leq 12 \\ \frac{y}{12} &\leq 1 \\ \frac{1}{1+0.7143\,e^{-0.054\;t}} &\leq 1 \\ \Rightarrow 1+0.7143\,e^{-0.054\,t} \leq 1 \; &\,\vee \;1+0.7143\,e^{-0.054\,t} \geq 1 \\ e^{-0.054\,t} \leq 0 \; &\,\vee \; e^{-0.054\,t} \geq 0 \\ &&&\Rightarrow e^{-0.054\,t} &\geq 0 \;,\;e\geq 0^{\,\frac{1}{-0.054\,t}}=0 \\ &&&\Rightarrow t\in \mathbb{R} \end{align*}$

Igen; det kan gøres på denne måde.

Svar #18
29. februar kl. 15:01 af ca10

Tak for svaret

Til Svar # 15, 16 , 17, ringstedLC

Jeg har først set dit svar nu, og jeg går det igennem for at forstå svaret.

I denne forbindelse vil jeg nævne at jeg har prøvet at løse opgave 320 og det er i spørgsmål d) at der muligvis går noget galt, idet jeg her har brugt kvotientreglen "1000" er en konstant ikke en funktion. Men jeg kan ikke gennemskue hvad fejlen består i.

På forhånd tak

Skriv et svar til: Population af havmåger - differentialligning, Vejen til Matematik A2, Opgave 319, Side 246, ( Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.