Matematik

En populationsvækst - differentialligninger, Vejen til Matematik A2, Opgave 318, Side 245. (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

16. februar kl. 11:47 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 318.

En populations vækst kan beskrives ved differentialligningen:

1 dN

----- • ------- = 0,028 - 0,0038 • t

N d t

Her er N antallet af individer i populationen målt i tusinder, og t er tiden målt i døgn.

a. Bestem den relative væksthastighed efter 2 døgn og efter 12 døgn?

Mit forsøg

t = 2 indsættes:

1 dN

----- • ------- = 0,028 - 0,0038 • 2 = 0,0204
N d t

Det passer med facitlisten side 395 se evt vedhæftede fil

t = 12 indsættes:

1 dN

----- • ------- = 0,028 - 0,0038 • 12 = - 0,0176
N d t

Det passer med facitlisten, se evt vedhæftede fil.

Det oplyses, at til tiden t = 0 er populationen størrelse N = 6,5.

b. Bestem en forskrift for N som funktion af tiden:

Mit forsøg:

1 dN

----- • ------- = 0,028 - 0,0038 • t

N d t

Jeg foretager seperation:

1 dN

----- = 0,028 - 0,0038 dt

∫ dN / N = ∫ ( 0,028 - 0,0038 • t ) dt

ln | N | = 0,0028 • t - ( 1 / 2 ) • 0,0038 • t ² + c

ln | N | = 0,0028 • t - 0,0019 • t ² + c

e^{ln | N |} = _e0,0028 • t - 0,0019 • t²+ c

N = _e 0,0028 • t - 0,0019 • t ² + c ( Jeg bruger her potensreglen a^r • a^s = a^r ^{+ s} )

_N = _e 0,028 • t _• e 0,0019 • t ² • e^c

Jeg bestemmer c og indsæter t = 0 og N = 6,5

6,5 = e^{0,028 • 0} • e^{-,0019 • 0} • e ^c

6,5 = 1 • 1• e^c

e^c = 6,5 som indsættes i :

_N = e ^{0,028 • t}_• e ^{_{0,0019 • t}2} _• e^c ( Her bruger jeg igen potensreglen a^r • a^s = a^{r + s} )

Så forskriften for N som er populationens størrelse er

^_N^_( t ) = 6,5 • e ^{_{0,028 • t - 0,0019 • t}2}

Det passer med facitlisten se evt vedhæftede fil.

c. Bestem det tidspunkt, hvor populationen er størst.

1 dN

----- • ------- = 0 ⇔ 0,028 - 0,0038 • t = 0

N d t

0,028 - 0,0038 • t = 0

- 0,0038 • t = - 0,028

t = -0,028 / - 0,0038 = 7,3684 = 7,37

Det passer med facitlisten se evt vedhæftede fil

d. Hvad sker der med populationen efter meget lang tids forløb.

Mit forsøg:

I spørgsmål c skulle man bestemme det tidspunkt, hvor populationen er størst så når tiden t i døgn stiger må det betyder at populationen ikke kan fortsætte med at vokse.

Spørgsmålet er, så hvordan man skal vise hvad der sker med populationen efter meget lang tids forløb.

Hvis jeg ser på eksponenten 0,028 • t - 0,0038 • t² kan man se at tiden t målt i døgn bliver eksponenten negativ efter et stykke tid og e^{0,028 • t - 0,0038 • t} bliver mindre og mindre og mindre og mindre når tiden t målt i døgn stiger.

Når tiden t målt i døgn stiger, bliver populationen mindre og mindre ...... o.s.v

Så efter meget lang tids forløb sker der følgende:

N ( t ) → 0 når t → ≈

Det passer med facitlisten se evt vedhæftede fil.

Mit spørgsmål er, om den måde jeg forsøger at besvarer spørgsmål d på. er den korrekt eller om der er en anden og mere matematisk korrekt måde at komme frem til facit på ?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 318 En Populations vækst.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
16. februar kl. 12:12 af CooperForce

Dit argument er egentlig fint nok, men det skal gøres mere stramt, både gennem anvendelse af matematiske termer og i forhold til at det er 0 som funktionen vil gå imod og ikke minus uendeligt.

Når du kigger på eksponenten så gælder:

$\begin{align*} 0,028\cdot t - 0,0038 \cdot t^2 \rightarrow -\infty\quad\quad t\rightarrow\infty \end{align*}$

Men da det er en eksponent så skal vi bruge vores kendskab til reglen:

$x^{-a}=\frac{1}{x^a}$

Dette betyder at når vi har at eksponenten går mod minus uendeligt så gælder:

$e^{0,028 \cdot t - 0,0038 \cdot t^2}\rightarrow\frac{1}{e^\infty} \quad\quad t\rightarrow\infty$

Hvilket vil gå mod 0, da vi dividerer 1 med større og større tal. Men dette kan aldrig give et negativt tal.

Svar #2
16. februar kl. 12:24 af ca10

Tak for svaret

Brugbart svar (1)

Svar #3
16. februar kl. 16:10 af ringstedLC

Alternativ: Undersøg monotoniforholdene for N ' :

$\begin{align*} N(t) &= 6.5\,e^{0.028\,t-0.0019\,t^2}\;,\;0\leq t \\ N'(t) &= \bigl(0.028-0.0038\,t\bigr)\cdot 6.5\,e^{0.028\,t-0.0019\,t^2} \\ N''(t)=0 &= \bigl(-0.0038+(0.028-0.0038\,t)^2\bigr)\cdot 6.5\,e^{0.028\,t-0.0019\,t^2} \\ 0 &= -0.0038+(0.028-0.0038\,t)^2 \\ t_0 &= ...\\ N'(t_0+1) &=...< 0\Rightarrow N(t) \searrow \quad\Rightarrow N(t)\to 0 \;,\;t\to\infty \end{align*}$

Svar #4
16. februar kl. 16:40 af ca10

Tak for svaret.

Til Svar # 3 ringstedLC jeg ser nærmere på.

På forhånd tak

Svar #5
21. februar kl. 16:28 af ca10

Til Svar #3 ringstedLC

_{N ( t ) = 6,5 • e} 0,028 • t - 0,0019 • t²

_{N ' ( t ) = (0,028 - 0,0038 t ) • 6,5 e}0,028 t - 0,0019 t²

N ' ( t ) differentieres en gang til:

_{N '' ( t ) = (- 0,0038 + ( 0,028 - 0,0038 t )² ) • 6,5 e}^{_{0,028 t - 0,0019 t}2}

Jeg forstår ikke hvorfor ikke at i udregningen i tredje lighedstegn med leddet (- 0,0038 + ( 0,028 -0038 t )²her bibeholdes eksponenten 2.

_{N '' ( t ) = (- 0,0038 (0,028 - 0,0038 t )² • 6,5 e}0,028 t - 0,0019 t² )'

For funktion Afledet funktion

f ( x ) f ' ( x )

e^kx k • e^kx

Når N ' ( t ) differentieres anden gang burde der ikke stå:

_{N '' ( t ) = (- 0,0038 + ( 0,028 - 0,0038 t )} _{• 6,5 e}0,028 t - 0,0019 t²

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #6
21. februar kl. 19:20 af ringstedLC

#5 Nej. Funktionen N er ikke af typen e^kx , hvor k = konstant, men af typen:

$\begin{align*} N'(t) &= a'\cdot k\cdot e^{\,a} &&,\;a=0.028\,t-0.0019\,t^2\;,\;k=6.5 \\ N''(t) &= \bigl(a'\cdot e^{\,a}\bigr)'\cdot k \\ &= \Bigl(a''\cdot e^{\,a}+a'\cdot \bigl(e^{\,a}\bigr)'\,\Bigr)\cdot k \\ &= \Bigl(a''\cdot e^{\,a}+a'\cdot a'\cdot e^{\,a}\Bigr)\cdot k \\ N''(t) &= \Bigl(a''+\bigl(a'\,\bigr)^2\Bigr)\cdot k\cdot e^{\,a} \end{align*}$

Svar #7
21. februar kl. 19:48 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det.

Svar #8
23. februar kl. 15:10 af ca10

Jeg starter i første omgang at benytte Svar #3 0g Svar #6 ringstedLC's anvisning ved at bestemme monotoniforholdene for N til at bestemme hvad der sker med populationen efter lang tids forløb og dernæst har jeg et spørgsmål til denne fremgangsmåde.

Alternativ: Undersøg monotoniforholdene for N ' :

_{N ( t ) = 6,5e^{0,028• t - 0,0019 •t}}²

_{N ' ( t ) = ( 0,028 - 0,00,38 • t ) • 6,5 • e ^{0,028 • t - 000019 t}}²

_{N '' ( t ) = 0 = ( -0,0038 + (0,028 - 0,0038 • t )² ) • 6,5 • e^{0,028t - 0,0,0019 • t}}²

_{N '' ( t ) = 0 = -0,0038 + (0,028 - 0,0038 • t )²}

t_{0 ^{= .......}}

Jeg har brugt TI - 89 Titatanium solve til at bestemme t₀

solve ( -0,0038 + (0,028 - 0,0038 • t )² = 0 , t₀ ) ( I TI - 89 Titatanium hedder det t og ikke t₀ )

t₀ = - 8,85372106044 ∧ t₀ = 23,5905631657 ≈ 23,59

Betingelsen er 0 ≤ t

N ' ( t₀ +1 ) = .... < 0 ⇒ N ( t ) pil nedad ⇒ N ( t ) → = 0, t → ∞

jeg indsætter t₀ = 23,59

_{N ' ( 23,5905631657 + 1 ) = ( 0,028 - 0,0038 • (23,59 + 1) • 6,5 • e}0,028 • (23,59 +1) - 000019 (23,59 + 1)²

= - 0,355290700287

≈ - 0, 355 < 0

t₀ 23,59 23,59 +1

------------------------------------------------------------------------------------------------

N ' ( t ) 0 - pil nedad

Så:

N ' ( 23,59 +1 ) = - 0, 355 - < 0 ⇒ N ( t ) pil nedad ⇒ N ( t ) → = 0, t → ∞

Populationen → 0 når tiden t → ∞

MIt spørgsmål er, at det ikke er umiddelbarr muligt at se at funktionen N er af typen

N ' ( t ) = a ' • k • e^a det fremgår ikke af Vejen til Matematik A2 og der er heller ikke givet noget eksempel i bogen på denne fremgangsmåde, og endvidere at en måde at bestemme hvad der sker med popolationen efter meget lang tids forløb består at først skal man bestemme N ' ( t ) og derefter bestemme N '' ( t ) = 0.

Så hvordan kan man se af opgaven at man skal gøre som du viser i dit Svar # 3 og 6 ?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #9
23. februar kl. 19:37 af ringstedLC

Nu ville jeg ikke kalde N ' for en type. Og matematik på A-niveau skal jo ikke være for nemt.

Med hensyn til fremgangsmåde: Jeg viser, ved at bestemme monotonien for N ', at N er aftagende for t₀ < t < ∞. Dette gøres på sædvanlig vis ved at løse N '' = 0

Det ses at:

$\begin{align*} N(t) &= 6.5\,e^{0.028\,t-0.0019\,t^2} \\ N'(t) &= 6.5\cdot \Bigl(f\bigl(g(t)\bigr)\Bigr)'\;,\;\left\{\begin{matrix} f(t)=e^t\qquad\qquad\qquad\;\;\, &\Rightarrow f'(t)=e^t\qquad\qquad\qquad \\g(t)=0.028\,t-0.0019\,t^2 &\Rightarrow g'(t)=0.028-0.0038\,t\end{matrix}\right. \\ &= g'(t)\cdot 6.5\cdot f'\bigl(g(t)\bigr) \\ N'(t) &= (0.028-0.0038\,t)\cdot 6.5\,e^{0.028\,t-0.0019\,t^2} \\ N'(t) &= a'(t)\cdot 6.5\,e^{a(t)} \end{align*}$

Bemærk: Havde N haft et lokalt minimum, kunne du have lavet en monotoniundersøgelse af N og derved vist at N går mod "0" for t gående mod uendeligt. Men i mangel på dette kan monotonien af N ' bruges til at vise det samme.

Slutteligt: Man kan gøre som jeg skriver, også selvom metoden ikke fremgår af ens lærebog. Og jeg regner med, at du har indset din fejl omkring e^kx

Svar #10
23. februar kl. 19:52 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det.

Skriv et svar til: En populationsvækst - differentialligninger, Vejen til Matematik A2, Opgave 318, Side 245. (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.