Ottekant - Oktagon

En ottekant eller en oktagon (kan også staves oktogon), er en figur i geometrien, med otte sider og otte vinkler. Ottekanten er dermed en polygon med otte hjørner.

Generelt er det svært at udregne arealet af irregulære polygoner med mange kanter. Nogle få irregulære ottekanter kan man dog ret nemt beregne arealet af, eksempelvis denne oktagon. 

I dette tilfælde kan man med fordel udregne arealet af et kvadrat/rektangel og trække arealet af de 4 ens hjørner fra. Det kræver at man har sidelængderne og dermed ved om ottekanten er et kvadrat uden hjørner eller et rektangel uden hjørner. 


Ottekant.

En ottekant har vinkelsummen 1080 grader.

Vinkelsummen for et polygon udregnes ved hjælp af formlen (n er antal kanter):

vinkelsum = (n - 2) \cdot 180$^\circ$

Det vil sige, hvis man finder vinklen på alle hjørnerne i en ottekant, og tager summen af vinklerne, får man altid 1080 grader.

En regulær ottekant er en ottekant, hvor alle sider er lige lange og alle vinkler er lige store. Det betyder, at i en regulær ottekant har hvert hjørne en vinkel på en ottendedel af vinkelsummen.

\frac{1080^\circ}{8} = 135^\circ

Alle vinkler i en regulær ottekant er altså 135 grader.


Regulær ottekant hvor alle vinkler er 135 grader.

Omkredsen af en regulær ottekant er nem at regne ud, da alle sider er lige lange, og altså skal vi bare gange sidelængden, l, med otte:

Omkreds = 8 \cdot l

Omkredsen af en irregulær ottekant regnes ved at måle længden af alle sider, og tage summen af disse.

Areal af ottekant

Arealet af en regulær ottekant beregnes med følgende formel:

Areal = \frac{1}{4} \cdot \tan(\frac{1080^\circ}{2 \cdot 8}) \cdot 8 \cdot l^2 = 2 \cdot \tan(67,5^\circ) \cdot l^2

Hvis man har en ottekant, der ikke er regulær, kan man ikke bruge denne formel. Arealet bliver derfor en smule mere indviklet at beregne, når ottekanten ikke er regulær. Man bliver således nødt til at dele den op i mindre figurer, eksempelvis trekanter og/eller firkanter. Irregulære ottekanter er derfor meget sjældne i faget matematik.

Eksempel

Dette er et eksempel på en regulær ottekant. Vi beregner dens omkreds og areal.


Eksempel på regulær ottekant med l = 10 cm.

Denne ottekant har sidelængden 10 cm. Vi beregner omkreds:

Omkreds = 8 \cdot 10 = 80

Målt i centimeter, har denne ottekant altså en omkreds på 80 cm. Arealet beregnes med formlen:

Areal = 2 \cdot \tan(67,5^\circ) \cdot 10^2 = 482,84

Ottekanten har dermed et areal på 482 cm^2.