indirekte bevis

Et indirekte bevis vil sige at man antager det modsatte af det man vil bevise, her at kvadratroden af 2 er rational og viser at det leder til en modstrid, en selvmodsigelse.

Man skal bruge en lille sætning først. Lad n og m være et positivt hel-tal. Så skal vi vise at: n^2 er lige => n er lige

hvilket er det samme som at vise at: n er ulige => n^2 er ulige (logisk kontraponering)

hvis n er ulige kan det skrives på formen n =  2m - 1. så er n^2 = 4m^2 -4m +1 = 4(m^2-m) + 1

som jo er ulige da det er et helt tal, gange 2 og så 1 lagt til. Vi har dermed bevist hjælpesætningen.

Vi skal nu prøve at bevise der findes et rationelt tal x så x^2 = 2 (og vise det giver en modstrid) at x er rationel vil sige at tallet kan skrives som en uforkortelig brøk mellem to hele tal, lad os kalde dem m og n så x = m/n

Dvs. 2 = x^2 = (m/n)^2 = m^2 / n^2 dvs. m^2 = 2n^2 hvilket viser at m^2 er lige hvormed m er lige i henhold til tidligere sætning. At m er lige vil sige at m kan skrives som m = 2a hvor a er et helt tal. dvs.

m^2 = 4a^2 = 2n^2 hvilket giver os 2a^2 = n^2 hvormed n også er lige. der findes alt et helt tal b så n = 2b. Og da m = 2a og n = 2b kan brøken forkortes med 2 hvilket strider imod antagelse om at brøken er uforkortelig. Man har dermed bevist at kvadratoden af 2 ikke er rationel.

Det kan jeg godt forklare dig, husk mig lige på det i morgen. Du skal egentlig bare tænke på, at et rationelt tal kan skrives som en brøk med heltallig tæller og nævner, for eksempel 2/3, 1/5 men også tallet tre, idet det kan skrives som 3/1. Man beviser så, at antagelsen √2 = m/n, hvor m,n tilhører de naturlige tal `N, altså antagelsen om at √2 kan skrives som en brøk med heltallig tæller og nævner ikke holder stik. Det er et omvendt bevis. Hvis du stadig ikke forstår det, så mind mig lige om det.

btw. SRO er det 2. eller 3.g opgaven?

#1 Nå, jeg så ikke din, så er det overflødigt.

du antager at kvadratrod 2 er et rationalt tal dvs et tal som kan skrives som et helt tal eller som en uforkortelig brøk.

kv 2 er ikke et helt tal dvs. det så må kunne skrives som en uforkortelig brøk    a/b

(a/b)²  =  (kv 2)²    ensbetydende med      a²/b^{2  =}  2     ensbetydende med

a² = 2*b²    heraf fås at a² er et lige tal (et tal som 2 går op i) dvs a er et lige tal

a kan derfor skrives som   a = 2*k  og vi får nu

(2*k)² = 2*b²   ensbetydenden med     4*k² = 2*b²       2*k² = b²  på samme måde som

før får vi nu at b må være et lige tal. Altså er både a og b lige tal og brøken a/b kan derfor forkortes med 2 men det strider jo mod vores antagelse om at a/b er en uforkortelig brøk. Altså findes der ikke en uforkortelig brøk som er lig med   kv 2 og altså er kv 2 ikke et rationalt, men et irrationalt tal.

Vi antager, at √2 er et rationalt tal, og vil vise, at denne antagelse fører til en modstrid, og at antagelse derfor er falsk.

Et rationalt tal, er et tal, der kan skrives som en brøk, og dermed altså også som en uforkortelig brøk.

Vi sætter altså √2 = a / b, hvor a og b er naturlige tal, og brøken er uforkortelig.   

Så er 2 = a² / b2.  Heraf følger, at a² = 2b². Da 2b² er et lige tal, så er a² og dermed a et lige tal.

Da a er et lige tal, går 4 op i a², og dermed går 4 op i 2b². Heraf kan vi slutte, at 2 går op i b²,  der altså er et lige tal. Så er b også et lige tal.

Vi har altså vist, at både a og b er lige tal, hvilket strider mod, at brøken a / b er uforkortelig. Vores antagelse, at √2 kan skrives som en brøk, er derfor falsk.  

Da √2 ikke er et rationalt, er det et irrationalt tal 

Hvis man skal vise

"at: n^2 er lige => n er lige",

kan det vel gøres sådan:

n ^ 2 = 2k, hvor n er et naturligt tal (=positivt heltal) og k også er det

n = (2k) ^ (1/2)

n = (2) ^ (1/2) * (k) ^ (1/2)

Dermed er

n     (2) ^ (1/2) * (k) ^ (1/2)
-- = -----------------------------
2     (2) ^ (1/2) * (2) ^ (1/2)

n     (k) ^ (1/2)
-- = -------------
2     (2) ^ (1/2)

            (k) ^ (1/2)
n = 2 *  -------------
            (2) ^ (1/2)