Matematik
Komplekse tal, argument
Jeg vil bestemme argumenterne for de komplekse tal. Hvis man har fået værdien arg(-i) = arccos(0) = π/2, mener jeg, at det er muligt at omskrive det til arg(-i) = arccos(0) = π/2 + 2kπ for alle k∈ Z.
I Wolfram Alpha, har man fået det til arg(-i) = -π/2, der ikke er en del af π/2 + 2kπ for alle k∈ Z. Når jeg kigger på enhedscirklen, kan man se, at -π/2 har det samme "sted" som 3/2π, og når man bestemmer cos(3/2π) giver det 0 som ønsket. Hvorfor får man forskellige værdier? Hvad og hvordan kan man svare sådan mere universelt/generelt? Altså hvilke af resultaterne skal man bruge til f.eks. en aflevering?
Svar #1
31. august 2014 af SuneChr
arg (0 + (- 1)·i) er punktet (0 ; -1) på enhedscirklen med retningsvinklen 3π/2
Argumentet er entydigt bestemt i intervallet [ 0 ; 2π [
Svar #2
31. august 2014 af Whut (Slettet)
Okay, mange tak! Er det nødvendigt at kigge på et punkt (a, b) af komplekse tal z = a + ib på enhedscirklen før man kan bestemme retningsvinklen mere præcist? Hvad vil du gøre hvis du havde arg(1 + i√(3)) til at bestemme med?
Svar #3
31. august 2014 af Andersen11 (Slettet)
#2
Argumentet φ til et komplekst tal z = a + ib ≠ 0 bestemmes entydigt (modulo 2π) ud fra ligningerne
cos(φ) = a/r , sin(φ) = b/r ,
hvor r = √(a2 + b2) . Det er nøsvendigt at betragte både cos(φ) og sin(φ) for at fastlægge argumentet φ entydigt i intervallet [0;2π[ .
Hvis, for eksempel z = 1 + i·√3 , har man r = 2 og dermed
cos(φ) = 1/2 og sin(φ) = (√3)/2 ,
hvorfor φ = π/3 .
For tallet -i gælder der arg(-i) = 3π/2 ≡ -π/2 = 3π/2 - 2π .
Skriv et svar til: Komplekse tal, argument
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.