Matematik

hvordan beregnes median, højde og vinkelhalveringslinje - retvinklet trekant

31. oktober 2014 af 321bj (Slettet) - Niveau: C-niveau

hvordan skal jeg bære mig ad med at beregne disse opgaver?

RST er en retvinklet trekant. S = 90^o, R = 24^o, s = 6 cm

a) beregn medianen m_s

b) beregn længnden af vinkelhalveringslinje v_T (fra t til skæring med t)

c) beregn højden h_s

jeg har beregnet manglende sider og vinkel i trekanten:

t = cos(24)*6 = 5,48 cm

r = sin(24)*6 = 2,44 cm

T = sin^-1(5,48/6) = 66^o

men skal jeg overhovedet bruge dette til opgaverne og hvordan bærer jeg mig ad med at løse dem?

Brugbart svar (1)

Svar #1
31. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

a) Beregn længden af kateten RS. Medianen m_s er så side i en trekant, hvor man kender vinkel R og de to hosliggende sider |RS| og s/2 . Benyt så en cosinusrelation til at beregne m_s .

b) Vinkelhalveringslinien v_T er så side i en trekant, hvor man kender de to vinkler R og T/2 (og dermed også den tredje vinkel) og den mellemliggende side s. Benyt så sinusrelaitonerne til at beregne v_T .

c) For højden h_s i den retvinklede trekant gælder der, at

h_s·s = r·t = s·cos(R)·s·sin(R) .

Brugbart svar (1)

Svar #2
31. oktober 2014 af mathon

|RS| = t = 6·cos(24°)

cos-relationen giver
$m_{s}=\sqrt{3^2+(6\cdot \cos(24^{\circ}))-2\cdot 3\cdot 6\cdot \cos^2(24^{\circ})}$

Brugbart svar (1)

Svar #3
31. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Bemærk, at vinkel T lettest findes ved at benytte vinkelsummen i en trekant:

T = 180º - R - S = 90º - R = 66º .

a) Ved hjælp af cosinusrelationen findes så

m_s² = (s/2)² + (s·cos(R))² - 2·(s/2)·s·cos(R)·cos(R) = (s/2)²

hvoraf man ser

m_s = s/2 .

Brugbart svar (0)

Svar #4
31. oktober 2014 af mathon

$\frac{v_T}{\sin(24^{\circ})}=\frac{6}{\sin(24^{\circ}+33^{\circ})}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
31. oktober 2014 af mathon

$h_s=6\cdot \cos(24^{\circ})\cdot \sin(24^{\circ})=3\cdot \left (2\cdot \sin(24^{\circ})\cdot \cos(24^{\circ}) \right )=3\cdot \sin(48^{\circ})$

Brugbart svar (1)

Svar #6
01. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

Til #3.

At længden af medianen på hypotenusen i en retvinklet trekant netop er lig med det halve af hypotenusens længde afspejler det faktum, at hypotenusen er en diameter i trekantens omskrevne cirkel. Fra hypotenusens midtpunkt er der derfor lige langt til trekantens tre vinkelspidser. Medianen på hypotenusen deler således den retvinklede trekant i to ligebenede trekanter

Svar #7
01. november 2014 af 321bj (Slettet)

a) kan jeg benytte sinusrelationen til at beregne medianen ms i stedet for at benytte cosinusrelationen ?

Brugbart svar (1)

Svar #8
01. november 2014 af mathon

#7
Nej for du mangler en vinkel.

Men
$m_s=\frac{1}{2}\sqrt{2(r^2+t^2)-s^2}=\frac{1}{2}\sqrt{2(6^2\cdot \cos^2(24^{\circ})+6^2\cdot \sin(24^{\circ}))-6^2}=$

$\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2\cdot 6^2\left ( \cos^2(24^{\circ})+\sin^2(24^{\circ}) \right )-6^2}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{6^2}=3$

Svar #9
01. november 2014 af 321bj (Slettet)

a) jeg har forstået jeg skal bruge RT i trekanten som er 6 cm lang. Denne divideres med 2, som giver 3 cm. Det er en katete i en af de ligebenede trekanter, som medianen danner. Så skal jeg også bruge cos(R) = cos(24) og det må være for den hosliggende katete 1/2 RT. Hypotenusen må i i den ligebende trekant ud fra medianen være siden SR = 5,48 cm.

og her er cosinusformlen:

cosA = (b²+c²-a²)/(2*b*c)

men jeg forstår ikke hvordan jeg skal sætte tallene ind i formlen og om den angiver cosinusrelationen til vinkel R, som er den jeg bruge til beregningen (af hvad jeg har forstået)

Brugbart svar (1)

Svar #10
01. november 2014 af mathon

korrektion:

|RS| = t = 6·cos(24°)

cos-relationen giver
$m_{s}=\sqrt{3^2+(6\cdot \cos(24^{\circ}))^2-2\cdot 3\cdot 6\cdot \cos^2(24^{\circ})}$

Svar #11
01. november 2014 af 321bj (Slettet)

ok nu forstår jeg - mange tak for hjælp

Svar #12
01. november 2014 af 321bj (Slettet)

men hvilken formel skal jeg bruge til opg. c?

af hvad jeg forstår bør h_s * s = r * t = s * cosR * s * sinR

h_s * 6 = 2,44*5,48 = 6*cos(24)*6*sin(24) = 13,4 = h_s * 6 = 13,4/6 = 2,23

dvs. højden er 2,23 cm men er det rigtigt og hvilken formel er det der er brugt ?

Brugbart svar (1)

Svar #13
01. november 2014 af Andersen11 (Slettet)

#12

Ved højden benytter man, at i en retvinklet trekant ABC hvor C er den rette vinkel, gælder der, at

h_c · c = a · b = 2T

hvor T er trekantens areal. Dernæst benytter man, at a = c·sin(A) og b = c·cos(A) , hvorfor

h_c = c · sin(A) · cos(A) = c · sin(B) · cos(B) = (1/2) · c · sin(2A) = (1/2) · c · sin(2B) .

Højden h_c på hypotenusen kan således ud fra hypotenusen og en af de spidse vinkler i trekanten.

Din værdi for højden er korrekt.

Svar #14
01. november 2014 af 321bj (Slettet)

tak for hjælp og forklaring

Skriv et svar til: hvordan beregnes median, højde og vinkelhalveringslinje - retvinklet trekant

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.