Injektive funktioner??

Vis, atfunktionen er strængt monoton i intervallet. Indsæt 3 i funktionsudtrykket.

Funktionen er aftagende, men hvordan kan dette bruges som et argument for at den er injektiv..?

At den er injektiv betyder vist, at den ikke kan have mere end een funktionsværdi for en givet x-værdi. Kun en injektive funktion har en omvendt funkyion (f^-1 (x)).

At funktionen er strengt aftagende betyder, at den er injektiv på dette interval.

f(x) har nulpunkter i x=-1 og i x=2, men kun x=2 ligger i intervallet.

Er der hul igennem her?

Ikke helt..

#3 En funktion har altid kun en funktionsværdi for et givet x. Derimod gælder der om en injektiv funktion, at for hver f(x) = y så er der netop et x som opfylder ligningen.

Injektivitet defineres ofte som følger:

En funktion, , er injektiv hvis .

Standard måden at vise, at en funktion er injektiv på, er så at antage at  og så vise, at så må .

Du kan, som foreslået i #1, også vise at den er strengt monoton.

Når du har vist at din funktion er injektiv på det pågældende interval, så kan du benytte at

Funktionen er injektiv, hvis der for enhver værdi af y højst findes ét x, der tilfredsstiller f(x) = y. Det er ikke sikkert, at der findes en x-værdi for hver y-værdi.

Hvis der for alle y-værdier findes mindst én x-værdi, så f(x) = y, kaldes funktionen surjektiv.

Hvis begge betingelser er opfyldt, kaldes funktionen bijektiv.

Funktionen arctan(x) er injektiv men ikke surjek.

f(x)= x³ - x er surjektiv, men ikke injektiv.

g(x) = x³ er bijektiv.

#8 Jeg fornemmer lidt, at det er henvendt til mig? I såfald så synes jeg ikke, at jeg har blandet rundt på surjektivitet og injektivitet. Når jeg skriver "for hver f(x) = y", så nævner jeg ikke noget om, at alle y har en "f(x) løsning".

Hvis det var henvendt på den formel jeg henviste til, så er det klart at han skal sikre sig at a ligger i billedemængden.

Her er funktionen og dens inverse og de ønskede funktionsværdier.

Har trådstarter også fået det?

Ups, jeg misforstod det sidste spørgsmål. Der bliver jo spurgt om den afledede!

det bliver vist    

Sådan her kan du finde den inverse funktion:

Først ombyttes x og y

Så inverteres begge sider

Så tægges der 2 til på begge sider

Så laves der squares completion

Så reduceres venstre side

Så tages kvadratroden på begge sider

Så lægges der en halv til på begge sider

y er besværlig at differentiere, men se Svar #10 med tilhørende billede.

#9 Din forklaring er ikke helt klar. Hvad mener du med "for hver f(x) = y"? Der er ikke angivet, hvilken mængde y skal tages fra. I så fald er det normalt R, der er underforstået.

#12 Ja, y er et reelt tal.

Når jeg skriver "for hver f(x) = y" så mener jeg, at hvis f(x) = y, så er x entydigt bestemt (har netop en løsning). Det havde måske været mere klart hvis jeg har skrevet hvis i stedet. Jeg valgte "hver" for at understrege, at det skulle gælde for alle de tilfælde hvor f(x) = y. Idet x og y er vilkårlige ville det naturligvis betyde det samme, hvis jeg havde skrevet "hvis" i stedet for "hver".

Når jeg skriver "for hver f(x) = y" så mener jeg ikke at der for hvert et y findes et x, så f(x) = y.

#trådstarter
I stedet for at finde den inverse, så kan du benytte at f er injektiv på intervallet og at f(3) = 1/4
hvorfor f^-1(1/4) = 3
 

#1 - 13

Tak for hjælpen! Det hjalp rigtigt meget! :)

Jeg er i tvivl om følgende:
Jeg har fået udregnet    = -3,20

Passer dette?

#0   Hvis du har set #10, hvor jeg skrev noget forkert i teksten, har du måske glemt at se det billede der var vedhæftet. Der kan du sikkert ane, at du har ret.

Hvis du ser på det her vedhæftede forbedrede billede, kan du føle dig sikker.    :)

Jeg mener #13 tager fejl, når han skriver 3.

Jeg håber også du har læst #11.

#15

Hvad mener du, at der er galt i 13? Det gælder pr. definition, at hvis f(3) = 1/4 og f er injektiv, så er f^-1(1/4) = 3, hvor  f^-1 er defineret i en passende omegn af 1/4. Svaret er naturligvis ikke 3, da han stadig skal udregne den afledede af f, evaluere den i 3 og tage den reciprokkeværdi. Dvs. bruge formlen angivet i #7

#15 undskyld jeg ikke forstod dig i  #13  "f-1(1/4) = 3". Du havde jo ret.

Har du også taget stilling til mine grafer i #15: injektive funktioner2.png, sommetider har jeg en fornemmelse af at der ikke er nogen, der kan se mine ellers fine billeder.   :)

Nå, godnat og sov godt. zzzzzzzzzzzzzz

#17. Intet problem, jeg synes bare det ville være synd hvis trådstarter troede, at det var forkert. Jeg ved ikke om spørgsmålet er henvendt til mig, men jeg har set dine grafer i #15, jeg har dog ikke taget stilling til dem ;).

#16
Begge grafer gav et godt overblik, tak. :)

#1-18
Tak for hjælpen! :)