Angiv, monotoniintervallerne for : f(x)=x^3-6x^2+9x+2 , og , f(x)=x(x^2-3)

Der er jo ikke noget c led så har du ikke fået skrevet den forkerte opgave ind ?

Efter man differentierer f(x)=x^3-6x^2+9x+2 

bliver det jo, = 3x^2-12x+9

også kan jeg ikke bruge nul reglen her, korrekt?

Hvorfor tror du ikke det ?. Du skal bare løse ligningen f'(x) = 0

Du kan benytte den normale løsningsmetode til andengradsligninger.

Nåh okay, men hvordan? Tror du måske du kan hjælpe mig med den her?.

Du går ud fra Ax² + Bx + C  = 0.

Find føst diskriminanten D = B² - 4AC

Hvis D er positiv, har ligningen 2 løsninger, hvis den er 0, er der 1 løsning og hvis den er negativ, er der ingen reelle røddder.

De to løsninger er:

Så x₁= -3 

og x₂= -1   er det korrekt?

Og hvis det så er korrekt, hvordan vil jeg så nu finde monotoniintervallerne ?

Det er ikke korrekt. Løsningerne er 3 og 1.

f'(x) = 3(x-1)(x-3)

DET er rigtigt, jeg glemte og skifte fortejnet fra - til + , 

men hvordan er du så nu at jeg finder monotoniintervallerne ? Det er så det eneste jeg prøver nu at finde ud af?

Da f differentieret giver 

må nulpunkterne i f findes ved at sætte tangentens hældning til 0 og løse den:

Da dette er en almindelig andengradsligning, kan den løses vha. diskriminanten.

Diskriminantens formel er allerede skrevet op tidligere, så jeg går ud fra, du kender den og skriver derfor direkte koefficienterne ind:

Rødderne er så:

Dvs. at i  og  er der nulpunkter i grafen for f.

For at finde ud af de konkrete monotoniintervaller, findes hældningen for tangenten i nogle vilkårlige punkter lige ved siden af nulpunkterne.

Først findes hældningen for tangenten i et punkt før , da dette er det første nulpunkt på grafen:

Funktionen f er altså voksende fra 

Herefter findes hældningen på et vilkårligt punkt mellem  og :

Dermed er f aftagende i 

Og hældningen findes i et punkt efter det sidste nulpunkt :

Til sidst er f altså voksende i 

De to løsninger viser di steder, hvor den oprindelige funktion har vandret tangent. Det er de steder, hvor funtionen kan skifte   mellem voksende og aftagende.

Du kan indsætte de to løsninger i den oprindelige funktion og derved finde ud af, om funktionen er voksende eller aftagende mellem de to værdier.

Da det første led i funktionen er x³,vil den dominere ved meget positive og meget negative værdier af x. Du kan derfor se på monotonien af x³ og deraf slutte, hvordan monotonien er udenfor det interval, du lige har set på.

Tusind tak for hjælpen.

Jeg har så bare et sidste spørgsmål angående f(x)=x(x^2-3)
Skal jeg bare skrive 0=x(x^2-3)

og så isoler x, eller hvordan ?

Parentesen ganges lige ud:

Og f differentieres igen:

Herefter skal du prøve at finde monotoniforholdene på samme måde ved at løse  og finde hældningen for punkter "i nærheden af" nulpunkterne.

Når du har fundet nulpunkterne af f'(x), kan du differentiere f'(x), så du får f''(x). Dens værdi i f'(x)'s nulpunkter viser, om f(x) har lokalt minimum eller lokalt maksimum:

f'''(x₀) < 0:  f(x) har lokalt maksimum i x₀

f''(x₀) = 0: f(x) har vendetangent i x₀

f''(x₀) > 0: f(x) har lokalt minimum i x₀