Matematik

Fordeling af en stokastisk variabel

09. december 2016 af pure07 - Niveau: Universitet/Videregående

$E[e^{i u X(t) } ]=-\frac{u}{2}\int_{0}^{t} \sigma^{2} (s)ds$

Her er x(t) en stokastisk variabel og $f(t)=\sigma ^{2}(t)$ er en deterministisk funktion. Udfra ovenstående kan man sige noget om X's fordeling. Hvis den nu det er en normalfordeling: hvordan finder man så gennemsnit og varians af X ?

Brugbart svar (1)

Svar #1
10. december 2016 af Therk

Venstre side er definitionen på den karakteristiske funktion. En normalfordelt stokastisk variabel $X(t)\sim\mathcal N\left(\mu(t),\tau^2(t)\right)$ har karakteristisk funktion

$\phi_{X(t)}(u) = \exp\left\{iu\mu(t)- u^2\tau^2(t)/2\right\}$

dvs.

$-\frac 2u \exp\left\{iu\mu(t) - u^2\tau^2(t)/2\right\}= \phi_{X(t)}(u)= \int_0^t\sigma^2(s)$

Medmindre du har skrevet det originale udtryk forkert op skal du kende $\mu'(t)$ og $\tau'(t)$ for at kunne sige noget om middelværdien og variansen.

Svar #2
11. december 2016 af pure07

Det har jeg!

$E[e^{i u X(t) } ]=-\frac{u^{2}}{2}\int_{0}^{t} \sigma^{2} (s)ds$

Herfra kan vi vel godt sige, at variansen er $\int_{0}^{t} \sigma^{2} (s)ds$ ?

Brugbart svar (0)

Svar #3
11. december 2016 af Therk

Nej. Både variansen og middelværdien er givet af funktionen σ²(^.). Så længe den er ukendt, kan vi ikke sige noget, nederste linje i #1 gælder stadig, omend der mangler et u^-1 på venstre side.

Skriv et svar til: Fordeling af en stokastisk variabel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.