Matematik

Løsning til differentialligning

06. august 2017 af tayfun1 (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej alle

Jeg sidder fast i følgende opgave:

Find løsningen til differentialligningen og vis de enkelte trin i besvarelsen:

dy(t)/dt = 2 * (y(t)+1) * (t+1) , y(0) = 0

Jeg har ikke kunnet komme i gang, da jeg ikke har kunnet indse, hvilken slags differentialligning det er. Mit bedste bud er at det en 1. ordens inhomogen differentialligning, men jeg ved ikke hvordan denne skal løses.

Håber i kan hjælpe.

Mvh. Tayfun

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. august 2017 af Therk

Din differentialligning er på formen

y' + f(t)y = g(t)

Det er korrekt at det er en førsteordens inhomogen differentialligning (med ikke-konstante termer). Følg fx fremgangsmåden i sektion 2.2 her:

http://homepages.ulb.ac.be/~dgonze/TEACHING/lde.pdf

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. august 2017 af Soeffi

#0 Sædvanlig første ordens inhomogen lineær differentialligning med variable koefficienter. (Med begyndelsesbetingelsen: y(0) = 0).

Sædvanlig: der differentieres kun med hensyn til een variabel: t (modsat partiel differentialligning).

første ordens: y differentieres kun een gang.

inhomogen: der indgår et konstant led, når man ganger parenteserne ud.

lineær: y og dy/dt indgår kun ganget med koefficienter, der kan være konstante (reelle tal) eller som her variable dvs. funktioner, der er afhængige af t.

Svar #3
06. august 2017 af tayfun1 (Slettet)

Mange tak for svarene. Jeg kan dog ikke få differentialligningen skrevet om til ovenstående form. Har prøvet at gøre følgende:

dy(t)/dt = 2 * (y(t)+1) * (t+1)

--> y´(t) = (2y(t)+2) * (t+1)

--> y´(t) = 2y(t)*t +2t + 2y(t) + 2

Brugbart svar (0)

Svar #4
06. august 2017 af Soeffi

#2 rettelse:...
inhomogen: der indgår et led, der ikke indholder y, når man ganger parenteserne ud.

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. august 2017 af mathon

$\small \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}=2(y+1)(t+1)$

$\small \tfrac{1}{y+1}\, \mathrm{d}y=\left (2t+2 \right ) \mathrm{d}t$

$\small \tfrac{1}{y+1}\, \mathrm{d}(y+1)=\left (2t+2 \right ) \mathrm{d}t$

$\small \int \tfrac{1}{y+1}\, \mathrm{d}(y+1)=\int \left (2t+2 \right ) \mathrm{d}t$

$\small \ln(y+1)=t^2+2t+C_1$

$\small y+1=C\cdot e^{t^2+2t}$

$\small \mathbf{\color{Red} y=C\cdot e^{t^2+2t}-1}$

$\small y(0)=C\cdot e^{0^2+2\cdot 0}-1=0$

$\small \small C\cdot 1=1$

$\small C=1$
dvs
$\small \mathbf{\color{Red} y= e^{t^2+2t}-1}$

Svar #6
06. august 2017 af tayfun1 (Slettet)

Tak!

Skriv et svar til: Løsning til differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.