Matematik

Diff. ligninger

06. marts 2019 af NetteLind - Niveau: Universitet/Videregående

Hejsa. Jeg har lidt problemer med at komme frem til den rigtige løsning af b. Jeg får umiddelbart at y=e^t+c+1, hvilket jo ikke er løsningen fi.

Desuden i a, hvordan tjekker jeg dette? Bare indsætte fi_0 i y'=fi*y?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2019-03-06 kl. 12.22.28.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
06. marts 2019 af janhaa

$\int \frac{dy}{y(y-1)}= \int dt\\ \\ \ln( \frac{1-y}{y})= t+c\\ \\ \frac{1-y}{y}=c*e^{t} \\ etc...$

Brugbart svar (0)

Svar #2
06. marts 2019 af janhaa

by partial fraction

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. marts 2019 af AMelev

a) Indsæt y =0 hhv. y = 1 i differentialligningen, og se, at det passer.

b) Separation af variable y ≠ 0 og y ≠ 1:
$\frac{dy}{dt}=y^2-y=y\cdot (y-1)\Leftrightarrow \int \frac{1}{y\cdot (y-1)}dy=\int 1dt\Leftrightarrow$
$\int( \frac{-1}{y}+\frac{1}{y-1})dy=\int 1dt\Leftrightarrow -ln(|y|)+ln(|y-1|)=t+c\Leftrightarrow$
$ln(\frac{|y-1|}{|y|})=t+c\Leftrightarrow \frac{|y-1|}{|y|}=e^{t+c}=e^t\cdot e^c=k\cdot e^t\Leftrightarrow$
$\left\{\begin{matrix} y<0 &\frac{-y+1}{-y}=1-\frac{1}{y}= k\cdot e^t\Leftrightarrow y=\frac{1}{1-k\cdot e^t}\\ 0<y<1 & \frac{-y+1}{y}=-1+\frac{1}{y}= k\cdot e^t\Leftrightarrow y=\frac{1}{1+k\cdot e^t}\\ 1<y & \frac{y-1}{y}=1-\frac{1}{y}= k\cdot e^t\Leftrightarrow y=\frac{1}{1-k\cdot e^t}\end{matrix}\right.$

Vedhæftet fil:Billede.jpg

Svar #4
06. marts 2019 af NetteLind

Okay. Jeg har dog to spørgsmål.
1) Når du deler det op i tilfælde for 02) For y=1 fås y’=0, så dette forstår jeg ikke helt.

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. marts 2019 af AMelev

#4 Okay. Jeg har dog to spørgsmål.
1) Når du deler det op i tilfælde for 02) For y=1 fås y’=0, så dette forstår jeg ikke helt.

Går det første spørgsmål på opdelingen af y i de tre intervaller? Det skyldes de numeriske værdier, der er ved stamfunktionen til 1/y og 1/(y-1).

"For y=1 fås y’=0, så dette forstår jeg ikke helt." Hvad og hvor? Er det i sp. a)?

Svar #6
06. marts 2019 af NetteLind

Okay. I det andet spørgsmål mente jeg om du indsætter y=1 i E5.1 for dette giver ikke 1.

Brugbart svar (0)

Svar #7
06. marts 2019 af AMelev

Ja. Hvis y = 1, så giver differentialligningen 1' = 1² - 1 ⇔ 0 = 0, hvilket er sandt, så y = 1 er løsning.

Svar #8
06. marts 2019 af NetteLind

Nåh ja selvfølgelig. Nogengange virker det så trivielt :)

Skriv et svar til: Diff. ligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.