Matematik

Matematik A opg 13C

15. maj 2020 af Ineedhelp2606 - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har problemer med at løse en opgave som lyder på:

Virksomehden R&N markedsfører en ny type toiletpapit...således at den måndelige afsætning (i 1000 stk) af toiletruller S(t) med tiden nærmer sig en maksimal afsætning M.

Det kan med rimelighed antages, at S(t) opfylder differnentilligningen:

S'(t)=0,002S(t)*(M-S(t))

Til tiden t=0 er afsætningen 2000, dvs. S(0)=2

a) Bestem løsningen til differentialligningen når det oplyses at M=150

Nogen som kan hjælpe?

Vedhæftet fil: mat.JPG

Brugbart svar (1)

Svar #1
15. maj 2020 af swpply (Slettet)

Her er tale om et eksempel på en logistisk differentialligningen (LINK)

$\begin{align*} S^\prime(t) = aS(t)\big(M-S(t)\big) \quad&\Leftrightarrow\quad -\frac{S^\prime(t)}{S^2(t)} = a - \frac{aM}{S(t)} \\ &\Leftrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigg(\frac{1}{S(t)}\bigg) + \frac{aM}{S(t)} = a \\ &\Leftrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigg(\frac{e^{aMt}}{S(t)}\bigg) = ae^{aMt} \\ &\Leftrightarrow\quad \int_0^t\frac{d}{du}\bigg(\frac{e^{aMu}}{S(u)}\bigg)\,du = a\int_0^te^{aMu}\,du \\ &\Leftrightarrow\quad \frac{e^{aMt}}{S(t)} - \frac{1}{S(0)} = \frac{e^{aMt}-1}{M} \\ &\Leftrightarrow\quad S(t) = \frac{M}{1 + \frac{M-S(0)}{S(0)}e^{-aMt}} \end{align*}$

hvor at $a = 0.002$ , $M=150$ og $S(0) = 2$ . Hvorfor at

$S(t) = \frac{150}{1 + 74\cdot e^{-0.3\cdot t}}$

er løsningen til din differentialligningen som opfylder begyndelsesbetingelsen $S(0) = 2$ .

Brugbart svar (1)

Svar #2
15. maj 2020 af AMelev

Indsæt M = 150 og benyt dit CAS-værktøj (hvilket benytter du?) til at løse differentialligningen med begyndelsesbetingelsen s(0) = 2.

Svar #3
15. maj 2020 af Ineedhelp2606

Tak for hjælpen. Forstår det nu :D

Skriv et svar til: Matematik A opg 13C

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.