Matematik
Vektorfunktioner
OPGAVE 3-VEKTORFUNKTIONER (1)
En Ferrari kører på en ottetals-formet racerbane. Bilens position, P, kan beskrives ved stedvektoren
OPt: = 2 cos (30pi*t))
sin(60pi*t)
0<_t_<1
hvor t er tiden målt i timer og koordinaterne er målt i km. Bilen starter til tiden 0 i positionen (2,0) og passerer startlinjen hvert 4. minut (dvs. hver gang, der er gået 1/15 time).
1. Bestem bilens hastighedsvektor v(t), Hvilken retning på figuren bevæger bilens sig i ved start?
Bilens fart svarer til længden af v(t), altså |v(t)|
2 Bestem bilens fart (i km/h) til de tidspunkter, hvor den passerer startlinjen.
3. Bestem bilens maksimale fart på en runde og angiv, hvor på banen dette sker
En omgang på banen har en samlet længde, der kan beregnes ved folgende integral
Integral fra 0 til 1/15 |v(t)|dt
4 Bestem banens samlede lengde
I er velkommen til at kigge på billedet, hvor alt er klarere.
Svar #1
19. oktober 2023 af MentorMath
Hej,
1. Differentier vektorfunktionen, ved at differentiere de to koordinatfunktioner hver for sig.
2. Her skal vi bestemme for hvilke værdier af t, y-koordinaten til hastighedsvektoren, v(t), er lig med nul.
3. Opskriv et udtryk for accelerationsvektorfunktionen (den afledede af hastighedsvektorfunktionen, v(t)) og sæt udtrykket lig med nul - og undersøg da for hvilke værdier af t accelerationsfunktionen har maksimum og minimum.
4. Længden af hastighedsvektoren bestemmes og indsættes i overstående integral.
Skal nok lige prøve at vise yderligere, hvis det er nødvendigt :)
Svar #2
19. oktober 2023 af Natash88
Kan du vise i detaljer, hvad jeg skal gøre?
Svar #3
19. oktober 2023 af MentorMath
#2
Hej igen,
Det er en svær opgave - så forstår godt, hvis du bøvler med den.
Jeg er desævrre ikke den stærkeste i geogebra..
Har dog prøvet at vise det (1.), ved at differentiere funktionen (se billag). Vi ved, at vi får hastighedsvektorfunktionen ved at differentiere OPt-funktionen, idet OPt beskriver bilens position, som en funktion af en tidsparameter - i dette tilfælde parametren t.
Skriv endelig, hvis det ikke giver mening - så skal jeg nok gøre mit bedste for at uddybe det nærmere.
Svar #4
19. oktober 2023 af Natash88
Det giver meget mening. Mange tak. Angående 3. hvordan skriver jeg en udtryk?
Svar #6
19. oktober 2023 af MentorMath
Selv tak - godt at høre det giver mening!
Jeg kan godt prøve at vise hvordan udtrykket ser ud i 3. Jeg skriver med en mus, så det tager lidt tid at få skrevet ,:)
Svar #8
19. oktober 2023 af Natash88
Hej, jeg har lige et spørgsmål. Hvorfår er det 1/60? Og hvorfår her vi skrevet 60pi?
Svar #9
19. oktober 2023 af SuneChr
Bilen skal køre 15 hele omgange, det giver 0 ≤ t ≤ 1/15·15
1/4 omgang giver t = 1/15·1/4 = 1/60
Faktorerne 30 og 60 er tilpasset tidsintervallet og viser, at når tiden, t = 1, har bilen kørt 15 omgange.
Banen vil være elliptisk, hvis argumentet, indholdet, i cos og i sin er det samme.
Svar #10
19. oktober 2023 af MentorMath
#4
Undskyld ventetiden.
Jeg har prøvet at vise, hvordan du kan bestemme punkt 3. Har siddet og bakset med mit CAS-program, og jeg kan simpelthen ikke finde ud af, hvad der er galt, men programmet vil ikke som jeg vil her til aften - så jeg har ikke kunne beregne en konkret værdi.
Har dog prøvet at skrive metoden alligevel (se billag). Jeg er ved at være træt, men umiddelbart, kan jeg ikke se, at der er skulle være fejl i metoden:)
Svar #11
19. oktober 2023 af Natash88
Mange tak begge to. Jeg vil prøve at løse det nu og hvis jeg har mere spørgsmål, vil jeg forsætte med at skrive her.
Svar #12
19. oktober 2023 af Natash88
Skriv et svar til: Vektorfunktioner
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.