Partial derivative

Skal vi ikke tage den på dansk? Når nu alle taler dansk, er der ingen grund til at kommunikere på engelsk.

Partiel differentiation er en metode til at differentiere funktioner med flere variable. Lagrangefunktionen har tre variable, så der skal altså benyttes partiel differentiation.

L(x,y,λ)=xy+λ(5x+3y-15)=

Når du skal finde den partielle afledede med hensyn til x, betragter du y og λ som konstanter og differentierer så. Dermed finder du, at

∂L/∂x(x,y,λ)=y+5λ

Hvorfor får vi så det? Ja, hvis du husker på de differentiationsregneregler, som du lærte i 2g, så er der en regel, der siger, at

(k*x)'=k*(x)'=k*1=k

Hvis der står en konstant foran en variabel, bliver den altså ikke påvirket, når funktionen differentiers med hensyn til den variabel, der står efter konstanten. Hvis vi skal differentiere Lagrangefunktionen i lige så små skridt, finder vi

∂L/∂x(x,y,λ)=(x*y)'+(λ(5x+3y-15))'=y*(x)'+5λ*(x)'+(3yλ-15λ)'

Nu kan du se, at hvis du betragter y som konstant, og du betragter 5λ som konstant og samtidig betragter (3yλ-15λ) som konstant, da bliver differentialkvotienten netop

∂L/∂x(x,y,λ)=y+5λ.

Du skal nok undgå at vride hjernen med totaldifferentiation, før du har forstået principper bag partiel differentiation.

Især, hvis du synes, at

5x+3y=15 <=> 5x+3y-15

virker korrekt, for det er da nogenlunde lige så meningsløs matematik, som det kan blive. Du skal ikke lave den omskrivning, du skal blot indsætte udtrykket i Lagrangefunktionen.

Hej, mange tak for dit svar. Så vidt jeg husker så - når man differenterer - så vil få følgende ved diff:

f(x)=xy

Differenterer for x: 1 .. hvorfor får man det ikke når man laver en "partial derivative"?

Nu har jeg prøvet af regne efter igen:

L(x,y,λ)=xy+λ(5x+3y=15)

Fx: x+5λ = 0    (1)

Fy: y+3λ = 0    (2)

Fλ: 5x+3y=15 (3)

Isolere nu λ i 1 og 2,

(1) x+5λ = 0 <=> λ=-x/5

(2) y+3λ = 0 <=> λ=-y/3

Sætter 1 og 2 ligmed hinanden: 

(-x/5)=(-y/3) <=> x=5y/3 (4)

Hvis vi nu sætter vores fundne x-værdi ind i (3) får vi for y:

5x+3y=15 <=> 5*(5y/3)+3=15 <=> y=45/34

Denne værdi sættes så ind i (4) for at finde værdien af x:

x=5y/3 <=> x= (5*(45/34))/3 <=> x=75/34

Deraf finder vi de 2 puntker hvor forbrugerens Utility er maximeret: (75/34;45/34)

Korrekt??

"Utility" oversættes til "nytte" på dansk.

Nej, du har differentieret forkert. Læs mit indlæg igen. 

Jeg har læst dit indlæg, men jeg kan ikke se hvor jeg regner forkert??

Du regner forkert i både Fx og Fy.

Når man skal tage 'partial derivative' af xy med hensyn til x, er det så ikke 1? Jeg havde set på lignende opgaver hvor det var y?

Ja. Det er, fordi det er y. Som jeg i øvrigt også skrev i #1. Du skal jo betragte y som konstant, når du differentierer med hensyn til x. Så (xy)'=y(x)'=y. Præcis som argumenteret i #1. Det var derfor, jeg sagde, at du skulle læse indlægget igen.

Fx: y+5λ = 0    (1)

Fy: x+3λ = 0    (2)

Fλ: 5x+3y=15 (3)

Er det så sådan her?

Ja. Så skal du reelt set bare have styr på din matematiske notation, for den er som sædvanlig en smule aparte. 

hehe tak.. men udover det så har jeg brugt den rigtige fremgangsmåde?

Ja. Der forsvinder et y på mærkelig vis i en af dine beregninger, men det er vist blot en sædvanlig fejl. Fremgangsmåden som sådan er korrekt nok.