Studieretningsprojekt/-opgave (SRP/SRO)

Hjælp, løsning til y'' = -k2*y

07. december 2017 af nicenick (Slettet)

Jeg er i gang med at skrive SRP om svinginger, og skal blandt andet redegører for løsningsformlen til differentialligningen y'' = -k²*y, og jeg har mega svært ved at komme frem til et resultat, som giver mening, og som stemmer overens med nogle af mine kilder. Nogen som kan hjælpe mig?

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. december 2017 af mathon

$\small y{\, }''+k^2y=0$
med karakterligningen:
$\small r^2+k^2=0$

$\small r^2=-k^2$

$\small r=\mp \sqrt{-k^2}$

$\small r=\mp k \cdot i$
dvs
$\small \small y=\cos(kx)+\sin(kx)$

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. december 2017 af mathon

$\small \small y=\cos(kx)+\sin(kx)$

$\small y=\sqrt{2}\cos\left(kx-\tfrac{\pi }{4}\right)$

$\small y=\sqrt{2}\sin\left(kx+\tfrac{\pi }{4}\right)$

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. december 2017 af mathon

korrektion:
$\small r=\mp k \cdot i$
dvs
$\small \small \small y=c_1\cos(kx)+c_2\sin(kx)$

$\small y=A\cos\left(kx-\beta \vartheta \right)$

$\small y=A\sin\left(kx+\varphi _0\right)\; \; \; \; \; \; \; -\beta +\tfrac{\pi }{2}=\varphi _0$

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. december 2017 af mathon

omskrivningsdetaljer:
$\small y=c_1\cos(v)+c_2\sin(v)$

$\small y=c_1\left (\cos(v)+\tfrac{c_2}{c_1}\sin(v) \right )$
her sættes
$\small \tan(\beta)=\tfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}=\tfrac{c_2}{c_1}$

$\small y=c_1\left (\cos(v)+\tfrac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}\sin(v) \right )$

$\small y=\tfrac{c_1}{\cos(\beta)}\left (\cos(v)\cos(\beta)+\sin(v)\sin(\beta) \right )$

$\small y=\tfrac{c_1}{\cos(\beta)}\cos(v-\beta)$

$\small y=c_1\cdot \sqrt{1+\tfrac{{c_2}^2}{{c_1}^2}}\cos(v-\beta)$

$\small y= \sqrt{{c_1}^2+{c_2}^2}\cos(v-\beta)$

$\small y= A\cos(v-\beta)$

$\small y= A\sin(v+\varphi _0)\; \; \; \; \; \; \; \; -\beta+\tfrac{\pi }{2}=\varphi _0$

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. december 2017 af mathon

konklusion:
Løsningen til differentialligningen $\small \small y{\, }''+k^2y=0$ er den matematiske løsning
$\small \small y=c_1\cos(kx)+c_2\sin(kx)$ og den fysiske løsning $\small y=A\sin(kx+\varphi _o).$

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. december 2017 af mathon

Løsningerne stemmer naturligvis overens, men i fysik foretrækkes
løsningen på formen:

$\small \small y(t)= A\sin(\omega t+\varphi _0)$

                                          $\small y(t)= A\sin(2\pi f\cdot t+\varphi _0)$
hvor
               $\small \small A\text{ er amplituden m\aa lt i m}$
                $\small \small \omega \text{ er vinkelhastigheden m\aa lt i }\tfrac{radianer}{s}$
               $\small \small f\text{ er frekvensen m\aa lt i Hz = }s^{-1}$
               $\small \small \varphi _0\text{ er begyndelsesfasen m\aa lt i radianer}$
               $\small T=\tfrac{2\pi }{\omega }\text{ er perioden m\aa lt i s}$
               $\small t \text{ er tiden m\aa lt i s}$

Brugbart svar (0)

Svar #7
08. december 2017 af mathon

Løsningskontrol₁:
$\small y=c_1 \cos(kx)+c_2\sin(kx)$

$\small y{\, }'=-kc_1 \sin(kx)+kc_2\cos(kx)$

$\small y{\, }''=-k^2c_1 \cos(kx)-k^2c_2\sin(kx)$

$\small y{\, }''=-k^2\left (c_1 \cos(kx)+c_2\sin(kx) \right )$

$\small y{\, }''=-k^2\cdot y$

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. december 2017 af mathon

Løsningskontrol₂:
$\small \small \small y=A\sin(\omega t+\varphi _0)$

$\small y{\, }'=\omega A \cos(\omega t+\varphi _0)$

$\small y{\, }''=-\omega ^2A \sin(\omega t+\varphi _0)$

$\small y{\, }''=-\omega ^2\cdot y$

Brugbart svar (0)

Svar #9
08. december 2017 af mathon

$\small \text{Den harmoniske svingning med amplituden A, perioden T og begyndelsesfasen }\varphi _0$
$\small \text{har formlen:}$
$\small \small \small y=A\sin(\omega t+\varphi _0)\; \; \; \; \; \; \; \omega =\tfrac{2\pi }{T}$

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. december 2017 af mathon

konstanter beregnet ud fra
begyndelsesbetingelserne $\small y_0\text{ og }v_0\!:$

$\small \omega=2\pi \cdot f$

$\small y_0=A\sin(\varphi _0)$

$\small \frac{v_0}{\omega }=A\cos(\varphi _0)$
hvoraf
$\small \tan\left (\varphi _0 \right )=\tfrac{y_0\cdot \omega }{v_0}$

$\small \varphi _0 =\tan^{-1}\left (\tfrac{y_0\cdot \omega }{v_0} \right )$

$\small A =\frac{y_o}{\sin(\varphi _0)}$

Skriv et svar til: Hjælp, løsning til y'' = -k2*y

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.