Matematik

differentialligning

23. november 2023 af Lench - Niveau: A-niveau

jeg har en opgave med hjælpemidler som jeg er i tvivl over hvordan jeg skal løse. opgaven lyder således.

en differentialligning er givet ved $y'=y-\frac{1}{2}\ x^3$

grafen for en løsning f til denne differentialligning går gennem punktet $P(0,\frac{1}{2})$

a, bestem en forskrift for f.

b, bestem maksimum for f

skal jeg i opgave a indsætte mine punkter i differentialligningen eller hvordan gør jeg?

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. november 2023 af peter lind

Du kan søge i dit hjælpemiddels hjælpefunktion eller i dens manual.

Du må fortælle hvilken hjælpemidler du har, ellers kan vi ikke hjælpe dig nærmere

Brugbart svar (0)

Svar #2
23. november 2023 af SuneChr

Lad y´ = 1·y + (- ¹/₂x³)
y´ = x´·y + (- ¹/₂x³)

$y=e^{x}\int e^{-x}\cdot \left ( -\frac{1}{2}x^{3} \right )\, \textup{d}x$

Anvend herefter partiel integration indtil x er passende eksponentnedskrevet.

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. november 2023 af SuneChr

# 2 fortsat
Det er muligt, at du får hjælpemidlet til at løse ligningen, men ellers skal du blot koncentrere dig om
partiel integration af $\int e^{-x}x^{3}\, \textup{d}x$ Sæt fortegn, konstant og e^xpå til sidst.
Det gælder om at holde tungen lige i munden.

Svar #4
23. november 2023 af Lench

Hej Sune med hjælpemidler menes bare at jeg kan bruge evt. wordmat til at hjælpe mig.

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. november 2023 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} y{\, }'-y=&-\frac{1}{2}x^3\\\\ y=&e^x\cdot \int -\frac{1}{2}x^3\cdot e^{-x}\mathrm{d}x=\\\\& e^x\cdot \left ( -e^{-x}\cdot \left ( -\frac{1}{2}x^3 \right )-\int -e^{-x}\cdot \left ( -\frac{3}{2}x^2 \right )\mathrm{d}x \right )=\\\\& e^x\cdot \left ( e^{-x}\cdot \frac{1}{2}x^3-\int e^{-x}\cdot \frac{3}{2}x^2\mathrm{d}x \right )=\\\\& e^x\cdot \left ( e^{-x}\cdot \frac{1}{2}x^3-\frac{3}{2}\left ( -e^{-x}\cdot x^2-\int -e^{-x}\cdot 2x\;\mathrm{d}x \right ) \right )=\\\\& e^x\cdot \left ( e^{-x}\cdot \frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}\left ( e^{-x}\cdot x^2-\int e^{-x}\cdot 2x\;\mathrm{d}x \right ) \right )=\\\\& e^x\cdot \left (e^{-x}\cdot \frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}\cdot e^{-x}\cdot x^2-\frac{3}{2}\cdot \left ( -e^{-x}\cdot 2x-\int -e^{-x}\cdot 2\;\mathrm{d}x \right ) \right )=\\\\& e^x\cdot \left (e^{-x}\cdot \frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}\cdot e^{-x}\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot \left ( e^{-x}\cdot 2x-\int e^{-x}\cdot 2\;\mathrm{d}x \right ) \right )=\\\\& \end{}$

Svar #6
23. november 2023 af Lench

Kan godt se du benytter panserformlen men det der ser virkelig uoverskueligt ud.

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. november 2023 af mathon

$\small \begin{array}{lllllll} f(x)=e^x\cdot \left ( e^{-x}\cdot \frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}\cdot e^{-x}\cdot x^2+\frac{6}{2}\cdot e^{-x}\cdot x+\frac{6}{2}\cdot e^{-x}+C \right )\\\\ f(x)=C\cdot e^x+\frac{x^3+3x^2+6x+6}{2}\\\\ f(0)=\frac{1}{2}=C\cdot e^0+\frac{0^3+3\cdot 0^2+6\cdot 0+6}{2}\\\\ \frac{1}{2}=C+3\\\\ C=-\frac{5}{2}\\\\\\ f(x)=-\frac{5}2{}\cdot e^x+\frac{x^3+3x^2+6x+6}{2} \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. november 2023 af mathon

$\small \begin{array}{llllllll} \textbf{b)}\\&& \textup{Define }f(x)&=&-\frac{5}{2}e^x+\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x^2+3x+3\\\\&& \textup{Define }fm(x)&=&-\frac{5}{2}e^x+\frac{3}{2}x^2+3x+3\\\\&& \textup{solve}\left ( fm(x)=0,x \right )\\\\&&x&=&1.40068\\\\&& f_{\textup{max}}&=&f(1.40068)&=&1.374 \end{}$

Skriv et svar til: differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.