Matematik
Binom ligning og den komplekst konjugerede løsning
Hej SP,
For et reelt polynomie gælder det at, når der findes en kompleks rod, så er den kompleks konjugerede også rod i polynomiet.
Denne regl har jeg dog set ikke altid er gældende for binome ligninger som er 5 grad eller derover.
Men hvorfor er det sådan? og kan jeg så godt udfra det sige at en binom ligning af 3. grad altid har to komplekse rødder og en reel?
mvh. Anton
Svar #1
25. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)
Lad polynomiet være
p(z) = anzn + an-1zn-1 + ... + a2z2 + a1z + a0 ,
hvor koefficienterne a0, a1, ..., an er reelle.
Hvis polynomiet har en ikke-reel, kompleks rod z0 , gælder der
p(z0) = 0 .
Der gælder da, (hvor understregning betyder kompleks konjugering), at
(p(z0)) = 0 , dvs
anz0n + an-1z0n-1 + ... + a2z02 + a1z0 + a0 = 0 , dvs.
p(z0) = 0 ,
så hvis z0 er en rod, er den kompleks konjugerede z0 også en rod.
Svar #2
25. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)
Det er kun, hvis polynomiet har en ikke-reel, kompleks rod, at det også har den komplekst konjugerede som rod.
Svar #3
25. februar 2014 af emde93
Den er jeg helt med på, men for ligningen z5 = 125 kommer der 5 komplekse rødder, og det er her jeg står af, fordi her ville jeg havde gættet på at der var et 4 komplekse rødde og en reel ..
Svar #4
25. februar 2014 af Andersen11 (Slettet)
#3
Den ligning har 1 reel rod og 2 sæt af par af komplekst konjugerede rødder.
z5 = 125 = 53 ⇔ z = 53/5 · ei·2π·p/5 , p = 0,1,2,3,4 .
Skriv et svar til: Binom ligning og den komplekst konjugerede løsning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.