Matematik

Spørgsmål om vand liter i beholder og parallelle linjer.

31. august 2014 af MatBioFyKe (Slettet) - Niveau: B-niveau

Mine komplikationer,

Jeg har to opgaver hvor jeg er rimelig lost.

Opgave c1)
Den første omhandler, at jeg har et vandret liggende beholder (i billede nedenunder kan man se det i snit), det er en cynlinder med en halvkugle for hver ende. Jeg har både udregnet rumfanget og det samlede overfladeareal (som var de forrige opgaver).

Nu skal jeg blot udregne det rumfang som vandet udgør i beholderen (det er i cm målene, så hvis jeg finder cm^3, vil jeg få det i ml, som jeg senere kan omregne.)
Vandets højde i beholderen er oplyst til at være 25 cm (h1). Men jeg aner ikke hvorledes jeg skal se på de/ udregne dett, så nogle hints ville være dejligt.

Opgave c2)
I denne opgave skal vi betsemme ligningen for den tangent til grafen f, som er parallel med funktionen g.

Funktionerne er givet ved, g(x)=-0.4 x+0.5 og f(x)=x+(e)^(-2 x)
Jeg ved så meget at de skal have den samme hældning for at være paralelle. Har blot problemer med at få ligningen til at ramme grafens f's minimumspunkt (hvor tangenthældningen er). Så gerne hjælp her også.
p.s man kan se graferne på nedenstående vedhæftning også.

Vedhæftet fil: Opgave hjælp.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. august 2014 af mathon

Del rumfanget op i
To halvkugler dvs en kugle med radius 15 + en cylinder med længden 55 begge med
vandhøjden 25

Brugbart svar (0)

Svar #2
31. august 2014 af mathon

                 Volumen:
                                      kugle + halvkugle·længde
                   $\frac{\pi }{3}\cdot h^2\cdot \left ( 3r-h \right )+\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{3}\cdot h^2\cdot \left ( 3r-h \right )\cdot L=\frac{\pi }{3}\cdot h^2\cdot \left ( 3r-h \right )\cdot \left ( 1+\frac{L}{2} \right )=$

$\frac{\pi }{3}\cdot \left ( 2,5\; dm \right )^2\cdot \left ( 3\cdot \left ( 1,5\; dm \right )-\left (2,5\; dm \right ) \right )\cdot \left ( 1+\frac{5,5\; dm}{2} \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. august 2014 af mathon

fejl i #2 rettes når jeg får tid,. Tværsnitsarealet er forkert - det er noteret som et volumen.

Brugbart svar (0)

Svar #4
02. september 2014 af mathon

Cylinderens tværsnitscirkel indlagt i et koordinatsystem med x-aksen som tangent og centrum på y-aksen
har ligningen
                       x² + (y-15)² = 15²          -15 ≤ x ≤ 15          0 ≤ y ≤ 30
   hvoraf
                          $x=\pm \sqrt{15^2-\left ( y-15 \right )^2}$
   som med væksehøjden
                                             y = 25
   giver
                          $x=\pm \sqrt{15^2-\left ( 25-15 \right )^2}=\pm 5\sqrt{5}$

arealet af cylinderens væsketværsnit er således

$A=\int_{-5\sqrt{5}}^{5\sqrt{5}}\left (15+\sqrt{15^2-x^2} \right )dx=2\cdot \int_{0}^{5\sqrt{5}}\left (15+\sqrt{15^2-x^2} \right )dx$
$A=\int_{-5\sqrt{5}}^{5\sqrt{5}}\left (15+\sqrt{15^2-x^2} \right )dx=\underset{grundet \, symmetrien \, \, om\, \, y-aksen}{2\cdot \int_{0}^{5\sqrt{5}}\left (15+\sqrt{15^2-x^2} \right )dx}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
02. september 2014 af mathon

beregningen:
$A=2\cdot \int_{0}^{5\sqrt{5}}\left (15+\sqrt{15^2-x^2} \right )dx=2\cdot \left [ 15x \right ]_{0}^{5\sqrt{5}}+2\cdot \int_{0}^{5\sqrt{5}}\sqrt{15^2-x^2}dx=$

hvor beregningen
af
$\int_{0}^{5\sqrt{5}}\sqrt{15^2-x^2}dx$ udføres ved substitutionen

x = 15·sin(φ) og dermed dx=15·cos(φ)dφ

$\int_{0}^{5\sqrt{5}}\sqrt{15^2-x^2}dx=\int_{0}^{\sin^{-1\left ( \frac{\sqrt{5}}{3} \right )}}\sqrt{15^2\left ( 1-\sin^2(\varphi ) \right )}\cdot 15\cdot \cos(\varphi )d\varphi$

Brugbart svar (0)

Svar #6
02. september 2014 af mathon

$\int_{0}^{\sin^{-1\left ( \frac{\sqrt{5}}{3} \right )}}\sqrt{15^2\left ( 1-\sin^2(\varphi ) \right )}\cdot 15\cdot \cos(\varphi )d\varphi=225\cdot \int_{0}^{\sin^{-1\left ( \frac{\sqrt{5}}{3} \right )}}\cos^2(\varphi )d\varphi=$ $\frac{225}{2}\cdot \int_{0}^{\sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{5}}{3} \right )}2\cos^2(\varphi )d\varphi =\frac{225}{2}\cdot \int_{0}^{\sin^{-1}\left ( \frac{\sqrt{5}}{3} \right )}\left ( 1+\cos(2\varphi ) \right )d\varphi=$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \frac{225}{2}\cdot \left [ \varphi +\frac{1}{2}\cdot \sin(2\varphi ) \right ]_{0}^{0,841069}=\frac{225}{2}\cdot \left ( 0,841069+\frac{1}{2}\cdot \sin(2\cdot 0,841069) \right )=150,522$

Brugbart svar (0)

Svar #7
02. september 2014 af mathon

så
$A=2\cdot 15\cdot 5\sqrt{5}+2\cdot 150,522={\color{Red} 636,454}$

Brugbart svar (0)

Svar #8
02. september 2014 af mathon

Volumen:
kugle + cylindervæsketværsnitsareal·længde
$\frac{\pi }{3}\cdot h^2\cdot \left ( 3r-h \right )+{\color{Red} A}\cdot L$

$\frac{\pi }{3}\cdot 25^2\cdot \left ( 3\cdot 15-25 \right )+{\color{Red} 636,454}\cdot 55=48094,9\; cm^3=48,0949\; L$

Brugbart svar (0)

Svar #9
02. september 2014 af mathon

Opgave c2)
tekstredigering:
I denne opgave skal vi bestemme ligningen for den tangent til grafen for f(x), som er parallel med grafen for den lineære funktion funktion g(x)

dvs
I denne opgave skal vi bestemme ligningen for tangenten til grafen for f(x) i (1,f(1)).

Svar #10
02. september 2014 af MatBioFyKe (Slettet)

Okay, mange tak xD Nu forstår jeg det!

Brugbart svar (0)

Svar #11
03. september 2014 af mathon

detaljer i formlen for volumen af væsken i en kugle i højden h:

     Indlæg en halvcirkel med centrum i (r,0) i 1. kvadrant
     Denne har ligningen
                                        $\left ( x-r \right )^2+y^2=r^2$
     hvoraf
                                        $f(x)=y=\sqrt{r^2-\left ( x-r \right )^2}$

Med M begrænset af koordinatakserne, grafen for f(x) og linjen x = h med 0 < h < 2r
har man for en 360°'s drejning af M om x-aksen:

$V_x=\pi \cdot \int_{0}^{h}\left ( f(x) \right )^2dx=\pi \cdot \int_{0}^{h}\left ( r^2-\left ( x-r \right ) ^2\right)dx=\pi \cdot \int_{0}^{h}\left (2rx-x^2 \right )dx=$

$\pi \cdot \left [ r\cdot x^2-\frac{1}{3}\cdot x^3 \right ]_{0}^{h}=\pi \cdot \left (r\cdot h^2-\frac{1}{3}\cdot h^3 \right )=\frac{\pi }{3}\cdot h^2\cdot \left ( 3r-h \right )$

Skriv et svar til: Spørgsmål om vand liter i beholder og parallelle linjer.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.