Matematik

Kan ikke finde af en opgave

30. januar 2015 af DavidJac - Niveau: A-niveau

Jeg har denne opgave som jeg er forvirret over

Lad

h(x)=exp(x)(x+1)(2x+3)²

^{a. Lad g(x)=ln h(x). Udregn g'(x)}

^{b Udregn h'(x)}

Jeg kan se at det er en funktion som sættes i mod den naturlige eksponentielfunktion, som differenseres. Jeg er derefter lost.

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. januar 2015 af Keal (Slettet)

Du skal differentiere funktionen

$\small \begin{align*} g(x) &= \ln h(x)\\ &= \ln \left( e^x(x+1)(2x+3)^2 \right )\\ &= x + \ln(x+1) + 2\ln(2x+3) \end{align*}$

Du kunne også finde h'(x) først og så bnytte at g'(x) = h'(x) / h(x)

Svar #2
30. januar 2015 af DavidJac

Jamen okay så er det vel svarer på den første? så g findes bare ved at sætte h til ln, okay findt :)

b) ? er jeg også forvirret over men, skal nok bruge (d/dx) ln h(x)= (h'(x)/h(x)), plus resultatet fra tidligere opgave.

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. januar 2015 af Keal (Slettet)

I b'eren kan du benytte produktreglen: (p(x)·q(x))' = p'(x)q(x) + p(x)q'(x)

Svar #4
30. januar 2015 af DavidJac

Det kan man da ikke, når den ene er differentieret og den anden ikke er. Eller er jeg forkert på den?

Brugbart svar (0)

Svar #5
30. januar 2015 af Keal (Slettet)

Jeg forstår ikke hvad du mener. I b'eren skal du bestemme h'(x).
Lad derfor h(x)=p(x)q(x) hvor

$\small p(x) = e^x (x+1) \quad \mathrm{og}\quad q(x)=(2x+3)^2$

så er

$\small \small p'(x) = e^x (x+2) \quad \mathrm{og}\quad q'(x)=8x+12$

Benyt så at h'(x) = p'(x)q(x) + p(x)q'(x)

Svar #6
30. januar 2015 af DavidJac

Sorry det er mig som er forvirret

h'(x)=(((e^x(x+1))*(8x+12)=(e^x(x+2))*((2x+3)²)+(e^x(x+1))*(8x+12)

Som så bare skal forkortes. Er i gang

Svar #7
30. januar 2015 af DavidJac

Vi skal forkorte det sidste led af ligningen

=(e^x(x+2))*((2x+3)^x)+(e^x(x+1))*(8x+12)

Kan dog ikke se hvordan man kan forkorte de to exp i dette tilfælde.

Svar #8
30. januar 2015 af DavidJac

Jeg vil ikke gå ud fra det kan reduceres mere herfra?

Brugbart svar (0)

Svar #9
30. januar 2015 af mathon

$h(x)=g(x)\cdot h(x)\cdot i(x)$

$h{\, }'(x)=g{\, }'(x)\cdot h(x)\cdot i(x)+g(x)\cdot h{\, }'(x)\cdot i(x)+g(x)\cdot h(x)\cdot i{\, }'(x)$

Brugbart svar (0)

Svar #10
30. januar 2015 af mathon

h(x)=exp(x)(x+1)(2x+3)²

$h{\, }'(x)=e^{x}\cdot (x+1)\cdot (2x+3)^2+e^{x}\cdot 1\cdot (2x+3)^2+e^x\cdot (x+1)\cdot 2(2x+3)\cdot 2=$

$e^x\cdot (2x+3)\cdot \left [ (x+1)(2x+3) +(2x+3)+4(x+1)\right ]=$

$e^x\cdot (2x+3)\cdot \left [ 2x^2+5x+3+2x+3+4x+4\right ]=e^x\cdot (2x+3)\cdot\left ( 2x^2+11x+10 \right )=$

$2e^x\cdot \left (x+\frac{3}{2} \right )\cdot\left ( x+\frac{11+\sqrt{41}}{4} \right )\cdot \left ( x+\frac{11-\sqrt{41}}{4} \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #11
30. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

Man har

g(x) = ln(h(x)) = x + ln(x+1) + 2·ln(2x+3)

og dermed

g'(x) = 1 + 1/(x+1) + 4/(2x+3) .

Da man også har

g'(x) = h'(x) / h(x)

får man da, at

h'(x) = h(x) · g'(x) = e^x · (x+1) · (2x+3)² · [1 + 1/(x+1) + 4/(2x+3)]

= e^x · (2x+3) · [(x+1)·(2x+3) + 2x+3 + 4x+4]

= e^x · (2x+3) · (2x² + 5x + 3 + 6x + 7)

= e^x · (2x+3) · (2x² + 11x + 10)

= 4e^x · (x + 3/2) · (x² + (11/2)x + 5)

Det sidste udtryk i #10 mangler en faktor 2.

Brugbart svar (0)

Svar #12
30. januar 2015 af mathon

Jah
$h(x)=4e^x\cdot \left (x+\frac{3}{2} \right )\cdot\left ( x+\frac{11+\sqrt{41}}{4} \right )\cdot \left ( x+\frac{11-\sqrt{41}}{4} \right )$

da
$2x^2+11x+10 \right =2\left (x+\frac{11+\sqrt{41}}{4} \right )\left (x+\frac{11-\sqrt{41}}{4} \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #13
30. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)

#12

Det er nu h'(x) , der er lig med det udtryk.

Skriv et svar til: Kan ikke finde af en opgave

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.