Matematik

Bestem fremskrivningsfaktoren.

18. december 2016 af Ownercheif - Niveau: C-niveau

Hej allesammen,

Jeg er i gang med en opgave der virkelig volder mig problemer, jeg kan virkelig bare ikke se hoved og hale i den, og det ville være fantastisk hvis nogen kunne hjælpe mig.

Opgaveformuleringen er som følger:

Mængden af et radioaktivt stof aftager eksponentielt med tiden. Halveringskonstanten afhænger af hvilket stof, der er tale om. For C-14 (kulstof 14) er halveringstiden 5730 år. Kulstof 14 kan bruges til aldersbestemmelse af gammelt organisk materiale, fx moselig som Grauballemanden. I denne opgave ser vi på C-14.

Bestem fremskrivningsfaktoren pr. 1000 år, dvs. regn i enheden "1000 år", så [T_\frac{1}{2} = 5,73] .
Hvor mange procent C-14 henfalder på 1000 år?
Sæt mængden af C-14 i en organisme til 100% ved dødstidspunktet. Opstil en ligning, der beskriver, hvor mange procent C-14, der er tilbage efter x - tusind år.
Tegn en graf for den fundne sammenhæng.
I forhold til dødstidspunktet indeholder Grauballemanden i dag (2010) 75,7% C-14.
Hvornår døde Grauballemanden?

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. december 2016 af mathon

$N(t)=N_0\cdot e^{-k\cdot t}=N_0\cdot e^{-\frac{\ln(2)}{T_{\frac{1}{2}}}\cdot t}$

$N(1000)=N_0\cdot e^{-\frac{\ln(2)}{5730\; aa r}\cdot (1000\; aar)}=N_0\cdot\mathbf {\color{Red} 0{,}886062}$

Svar #2
18. december 2016 af Ownercheif

For og fremmest, tak for responsen.

Du bruger en del tegn jeg ikke kender, hvis du vil være sød at forklare dem?

Tak

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. december 2016 af sjls

a) Hvis der måles i enheden 1000 år, så er halveringstiden 5.73. Dvs. $T_\frac{1}{2}=5.73$

Halveringstiden er bestemt som det antal år (pr. 1000 i dette tilfælde), der går, inden den først målte mængde af kulstof-14 er blevet halveret. Denne halveringstid kan bestemmes ved $T_\frac{1}{2}=\frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln a}$ (formlen kan du eventuelt selv prøve at udlede, hvis det lyster).

Da halveringstiden i forvejen er kendt indsættes det i ligningen ovenfor, og a isoleres:

$5.73=\frac{\ln (\frac{1}{2})}{\ln a}\Leftrightarrow \ln a=\frac{\ln (\frac{1}{2})}{5.73}\Leftrightarrow a=e^{\frac{\ln (\frac{1}{2})}{5.73}}\Leftrightarrow a=\sqrt[5.73]{\frac{1}{2}}$

b) Da enheden på x-aksen i forvejen er 1000 år, så må det antal procent kulstof-14, der henfalder på 1000 år kunne beregnes ved at finde a^1-1 .

c) Her må det være y=a^x , hvor y er hvor mange procent C-14, der er tilbage i organismen og x er antal tusind år efter dødstidspunktet.

d) Plot en graf ind i et CAS-program.

f) Løs ligningen 0.757=a^x

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. december 2016 af mathon

alternativt:
$A(t)=A_0\cdot e^{-kt}$

$e^{kt}=\frac{A_0}{A(t)}$

$kt=\ln\left (\frac{A_0}{A(t)} \right )$

$t=\frac{1}{k}\cdot \ln\left (\frac{A_0}{A(t)} \right )$

$t=\frac{T_{\frac{1}{2}}}{\ln(2)}\cdot \ln(10)\cdot \log\left (\frac{A_0}{A(t)} \right )$

$t=\frac{5730\; aa r }{\ln(2)}\cdot \ln(10)\cdot \log\left (\frac{A_0}{A(t)} \right )$

$t=\left (19000\; aa r \right ) \cdot \log\left (\frac{A_0}{A(t)} \right )$

$t=\left (19000\; aa r \right ) \cdot \log\left (\frac{100}{75{,}7} \right )=2297\; aar$

Skriv et svar til: Bestem fremskrivningsfaktoren.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.