Matematik

Differentialligning og tangent, Vejen til Matematik A2, Opgave 309, Side 244, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

13. december 2023 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 309

En funktion f ( x ) er løsning til differentialligningen:

------ = 3y² ( x - 1 )

Det oplyses, at f (1) = -2

a. Bestem en ligning for tangenten til grafen til for f i punktet ( 1, f (1) = -2.

Mit forsøg (se eventuelt den vedhæftede fil)

------ = 3y² ( x - 1 ) = 3 • (-2)² • (1 - 1) = 3 • 4 • 0 = 0

y - y₁ = a ( x - x₁ )

Jeg indsætter punktet ( 1, -2 )

y - ( -2 ) = 0 ( 1 - 1)

y + 2 = 0

y = - 2

Det samme som facitlisten side 395.

Bestem den løsning til differentialligningen, hvis graf går gennem punktet ( 1, f (1) )

------ = 3y² ( x - 1 ) (Jeg foretager separation af de variable)

1 / y² dy = 3 ( x - 1 )

1 / y² dy = 3x - 3

Jeg integrerer

∫ 1 / y ² dy = ∫ (3x - 3 ) dx

Jeg integrerer på højre side af lighedstegnet:

∫ 1 / y ² dy = 3 / 2 • x² + 3x + c

Her er jeg gået i stå.

Mit spørgsmål er, hvordan kommer man videre ?

På forhånd tak

Vedhæftet fil: Opgave 309.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
13. december 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} \int\!\frac{1}{y^2}\,\mathrm{d}y=\int\!y^{-2}\,\mathrm{d}y= -y^{-1} &= \tfrac{3}{2}x^2\,{\color{Red} -}\;3x+c \\ \frac{1}{y} &= -\tfrac{3}{2}x^2+3x+c \\y &= (...) \end{align*}$

Svar #2
13. december 2023 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det.

Svar #3
14. december 2023 af ca10

Jeg er ikke sikker på at jeg helt forstår hvad der sker i Svar # 1 mellem første ligheds tegn og andet lighedstegn , :

∫ 1 / y² dy = ∫ y^{- 2} dy = - y ^- = ( 3 / 2 ) • x²- 3x + c

1 / y = ( - 3 / 2 ) • x² + 3x + c

y = ( ... )

Mit spørgsmål er, burde der ikke stå

-1 ----- = ( 3 / 2 ) x² + 3x + c

og der ganges først med tallet - 1 på begge sider af lighedstegnet

- 1

----- = -1 • ((- 3 / 2 ) x² - 3x - c )

-1

----- = (( 3 / 2 ) x² +3x + c )

Derefter ganges der med tallet 2 på begge sider af lighedstegnet

-1 • 2

---------- = 2 • (( 3 / 2 ) x²+ 3x + c )

- 2

------ = 3x² + 6x + 2c

y • ( 3x² + 6x + 2c ) = - 2

Jeg isolere y:

- 2

y = ---------------------------

( 3x² + 6x + 2c )

Jeg indsætter punktet ( x, y ) = ( 1 , -2 )

- 2

-2 = -------------------------------

-3 • 1 + 6 • 1 + 2c

-2

-2 = ----------------------------

-3 + 6 + 2c

-2 • ( 3 + 2c ) = - 2

-6 - 4c = -2

-4c = - 2 + 6

c = 4 / 4 = 1

I facitlisten er c = 4.

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert i min beregninger for hvad skal der faktisk stå i udtrykket:

y = ( ... )

for min beregning er åbenbart forkert.

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #4
14. december 2023 af Anders521

Jeg er ikke sikker på at jeg helt forstår hvad der sker i Svar # 1 mellem første ligheds tegn og andet lighedstegn , :

∫ 1 / y² dy = ∫ y^{- 2} dy = - y ^-1

Mellem det 1. og 2. lighedstegn haves integralet ∫ y^-2 dy med integranden y^-2, hvilket blot er en omskrivning til en potens af 1/y².

Mit spørgsmål er, burde der ikke stå

1

-1 ----- = ( 3 / 2 ) x² + 3x + c

y

Det er faktisk det samme som i #1. Potensreglen a^-r = 1/a^r , hvor r ∈ R, tillader dig at skrive dit udtryk på to forskellige måder.

og der ganges først med tallet - 1 på begge sider af lighedstegnet

   - 1

----- = -1 • ((- 3 / 2 ) x2 - 3x - c )

   y

   -1

----- = (( 3 / 2 ) x2 +3x + c )

   y

Hvilket også er sket i #1. Deri får du resultatet (ikke udregningen) ved at gange med -1 på begge sider. I øvrigt har du forsømt at gøre dette på venstre side af lighedstegnet. Det burde være

(-1)·(-1/y) = (-1)·( (3/2)x² +3x + c )

1/y = (-3/2)x² - 3x + c

Svar #5
14. december 2023 af ca10

Tak for svaret.

Til # Svar 4, Andersen 521.

Det kan nogen gange være svært at forklare hvori problemet består i når det skal gøres skriftelig.

Jeg prøver på at spørge på en anden og kortere måde.

Problemet er, at jeg ikke forstår #1 ringsteDL's udregning

∫ 1 / y²dy = ∫ y- 2 dy = - y - = ( 3 / 2 ) • x ^2 - 3x + c

Hvordan kommer fra det første lighedstegn til det andet lighedstegn hvor

1 / y = ( - 3 / 2 ) • x²+ 3x + c

Mit første spørgsmål er, hvorfor står der pludselig i det første led - 3 / 2 mens de to andre led har uforandrer fortegn ?

Mit andet spørgsmål er, hvad skal der stå på højre side af lighedstegnet, hvad skal der stå i parentesen i udtrykket ?

y = ( ... )

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #6
14. december 2023 af ringstedLC

Du har en fortegnsfejl ved integreringen af højre side:

$\begin{align*} \int\!\frac{1}{y^2}\,\mathrm{d}y &= \int\!(3x\,{\color{Red} -}\;3)\,\mathrm{d}x \\ \int\!y^{-2}\,\mathrm{d}y= -y^{-1} &= \tfrac{3}{2}x^2\,{\color{Red} -}\;3x+c \\ \frac{1}{y} &= -\tfrac{3}{2}x^2+3x-c \\y &= \frac{1}{-\tfrac{3}{2}x^2+3x-c} \\ y &= \frac{-2}{-3x^2-6x+2c} = \frac{-2}{-3x^2-6x+c_1} \end{align*}$

Ved prøve bruges kvotientreglen!

Svar #7
15. december 2023 af ca10

Tak for svaret

Nu kan jeg se det.

Svar #8
15. december 2023 af ca10

Jeg indsætter punktet ( x, y ) = ( 1 , -2 )

- 2 = -2 / ( -3 • 1² - 6 • 1 + c₁ )

- 2 = -2 ( -3 + 6 +c₁)

-2 = - 2 / (3 + c₁ )

-2 • ( 3 + c₁ ) = -2

- 6 + c₁ = - 2

c₁ = - 2 + 6

c_{1 = 4}

Jeg indsætter c₁ = 4 i udtrykket:

- 2 -2

y = --------------------- = ----------------------------

-3x² - 6x + c₁ -3x² - 6x + 4

Til Svar # 6 ringsedLC

Kvotientreglen

( f o g ) ' ( x ) =

( f ' ( x ) • g ( x ) - f ( x ) • g ' ( x )

-------------------------------------------- =

( g ( x ) ) ²

Jeg gør prøve:

( - 2 )' • ( -3 x² - 6 x + 4 ) - ( - 2 ) • ( -3 x² - 6 x + 4 ) '

------------------------------------------------------------------------ | 3y² ( x - 1 )

(( -3 x² - 6 x + 4 )) ²

0 - (- 2 ) • ( -6 x - 6 )

---------------------------------- | 3y²( x - 1 )

(( -3 x² - 6 x + 4 ))²

2 • ( -6 x - 6 )

---------------------------------- | 3y² ( x - 1 )

(( -3 x² - 6 x + 4 ))²

-12x - 12

------------------------------------- | 3y² ( x - 1 )

(( -3 x²- 6 x + 4 ))²

-12x - 12

------------------------------------------------------------ | 3y² ( x - 1 )

( -3 x² - 6 x + 4 ) • ( -3 x² - 6 x + 4 ) (nævneren udregnet uden mellem rerningerne )

-12x - 12

--------------------------------------- | 3y² ( x - 1 )

9x⁴ + 36x³ + 24x² +2 4x

Venstre siden stemmer ikke overens med udtrykket

på højre side.

-12x - 12

dy / dx = --------------------------------------- | 3y²( x - 1 )

9x⁴ + 36x³ + 24x² + 24x

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert eller hvad mangler der når jeg gør prøve ?

På forhånd tak.

Brugbart svar (1)

Svar #9
15. december 2023 af ringstedLC

#7 rettelse:

$\begin{align*} y&=\frac{1}{-\tfrac{3}{2}x^2+3x-c} \\ y&=\frac{-2}{3x^2-6x+2c}=\frac{-2}{3x^2-6x+c_1} \\ -2 &= \frac{-2}{3\cdot 1^2-6\cdot 1+c_1} \\ 1 &= \frac{1}{-3+c_1}\Rightarrow c_1=4 \end{align*}$

Prøve:

$\begin{align*} \frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^2} &= 3\cdot \left ( \frac{f}{g} \right )^{\!2}\!\cdot (x-1) \\ \frac{\bigl(-2\bigr)'\cdot g-(-2)\cdot\bigl(3x^2-6x+4\bigr)'}{g^2} &= 3\cdot \frac{(-2)^2}{g^2}\cdot (x-1) \\ \frac{0\cdot g+2\cdot \bigl(6x-6\bigr)}{g^2} &= \frac{3\cdot 4\cdot (x-1)}{g^2} \\ \frac{12x-12}{g^2} &= \frac{12x-12}{g^2} \end{align*}$

Svar #10
16. december 2023 af ca10

Tak for svaret.

Jeg ser nærmere på det.

Svar #11
16. december 2023 af ca10

Jeg har nu gået Svar #9. ringstedLC igennem og

jeg kan nu se hvorfor jeg ikke kunne få venstre siden og højre siden til at passe.

( g ( x ))² . På højre siden i prøven havde jeg overset at y = ( f / g ) = (-2 / ( (- 3 / 2 ) • x² - 6x + 4 ).

og derfor skrives på højre siden:

3 • y² • ( x - 1 ) = 3 • ( f / g )² • ( x - 1 ) =

3 • ( -2 )² • ( x - 1 ) 3 • 4 • ( x - 1 ) 12x - 12

------------------------------ = ------------------------ = -------------------

g² g² g²

Min udregning på venstre siden var korrekt men jeg kan se at det var ikke nødvendigt at udregne nævneren på venstre siden.

Endnu engang tak for svaret.

Skriv et svar til: Differentialligning og tangent, Vejen til Matematik A2, Opgave 309, Side 244, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.