Bevis for den logistiske ligning, Vejen til Matematik A2, Side 223 - 224, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

PÅ side 223 - 224 gennemgår forfatterne beviset for den logistiske ligning.

Jeg vil først følge forfatternes formulering / gennemgang af beviset som det står i bogen Vejen til Matematik A2, derefter vil jeg stille spørgsmål til et sted i deres bevis, hvor jeg ikke forstår deres omformning.

Sætning 2.15 Den logistiske ligning

                                                   dy / dx = ay (M - y ) 

har for 0 < y < M løsningerne:

                                                y = M / ( 1 + c • e^-aMx )

hvor c er en positiv konstant.

Bevis for sætning 2.15: Den logistiske ligning

Sætning kan bevises ved separation af de variable. Uligheden 0 < y < M sikre os, at højre side 

g (y) = ay = ( M - y ) er positiv, så betingelserne for at bruge separation af de variable er opfyldt.

dy / y (M - y ) = adx                                                   ganger med M

M dy/ y ( M - y ) =  M a dx                                         Integrerer på begge side

∫ M / y ( M - y ) dy  = ∫ M a dx

For at komme komme videre skal vi bruge en snedig omskrivning. Ved at sætte på en fælles brøkstreg kan vi se, at der gælder:

1 / y = 1 / ( M - y ) = ( M - y ) / y ( M - y ) + y / y ( M - y ) = M / y ( M - y )

Højre side er netop integranten ovenfor, så vi kan omskrive til: 

∫ 1 / y dy + ∫ 1 / ( M - y ) = ∫ M a dx

Integral nr. to klares ved substition t = M - y, der giver dt / dy = -1 

og dy = - d t så vi får:

      ∫ 1 / y dy - ∫ 1 / t  dt   = ∫ M a dx

som integreres til:

 ln | y | - ln | M - y | = Max + k                            Husk at t = M - y

Da både y og M - y er positive, kan numerisk - tegnene smides væk:

ln | y | - ln | M - y | = Max + k         Logaritmen til en brøk

ln ( y / M - y ) = Max + k                 e^x på begge side

 y / ( M - y )   = e^{Max + k}

y = ( M - y ) e^{Max + k =} Me^{Max + k} - ye^{Max + k}

y + ye^{Max + k} = Me^{Max + k}

y ( 1 + e^{Max + k} ) = Me^{Max + k}

    

            Me^{Max + k}

y = -------------------------                                       Divider med e^{Max + k} på begge sider

         ( 1 + e^{Max + k} )  

             Me^{Max + k}

y  = ------------------------                                         Potensregel

          1 + e^{- ( Max + k )} 

                 M 

y = ----------------------                                   e^-k Kaldes c

       1 + e^{- k} • e^{- Max} 

            

                 M

y  = -----------------------

           1 + c • e^-Max

Her er c = e^{- k} en positiv konstant.

-------------------------------------------------------

Det var en lang gennemgang.

Mit spørgsmål drejer sig om følgende del af forfatternes gennemgang af beviset:

         Me^{Max + k}

y = -------------------------                                       Divider med e^{Max + k} på begge sider

         ( 1 + e^{Max + k} )  

De skriver dividerere med e^{Max + k på} begge sider

             Me^{Max + k}

y  = ------------------------                                         

          1 + e^{- ( Max + k )} 

men de viser ikke hvordan  hvordan e^{Max + k}  bliver omformet til e^{- ( Max + k )} og det er denne del af beviset som mit spørgsmål drejer sig om.

Hvordan omformes e^{Max + k}  til e^{- ( Max + k )} ?

På forhånd tak