Konvergensinterval

Den sidste sætning er korrekt

Hvor i den sidste sætning er korrekt? I #0 har jeg vrøvlet noget med a = 1.

Da jeg ikke var tilfreds med resultatet, måtte jeg lave det hele om igen, fik jeg en anderledes resultat. Der vides fra #0 at den er konvergent hvis x < a, divergent hvis x > a. Hvis x = a, så er den konvergent hvis |x| < 1 eller |a| < 1. Siden a > 0 (fra opgaven), konvergerer den for 0 < a < 1 frem for -1 < a < 1.

Tilsammen ser vi så, at rækken er konvergent, hvis

i) x < a ,   ii) -1 < x < 1,   iii) 0 < a < 1

Jeg sætter ii og iii sammen, får jeg -1 < x + a < 2 eller a - 2 < x < 1 + a, hvilket stemmer overens med i), at

a - 2 < x < a < 1 + a.

Så konkluderer jeg, at konvergensintervallet er dermed x∈[a - 2;1 + a] for a > 0.

Venligst ret efter, hvis jeg har gjort det forkert.

(Edit: tastefejl rettet)

Konvergensradius for en potensrække

∑^∞_n=0 c_n·xⁿ

er

r = lim_n→∞ |c_n/c_n+1| .

For den pågældende række er da

r = lim_n→∞ |(1+aⁿ⁺¹) / (1+aⁿ)| 

Hvis a > 1 finder man

r = lim_n→∞ |(1/aⁿ + a) / (1/aⁿ + 1)| = a .

Hvis a = 1 , er r = 1 .

Hvis 0 < a < 1, er 

r = lim_n→∞ |(1+aⁿ⁺¹) / (1+aⁿ)| = 1 .

Potensrækken er absolut konvergent for |x| < r , og divergent for |x| > r .

#3

Den slags har jeg ikke rigtigt hørt noget om (især med |c_n/c_n+1|, hvor tælleren og nævneren sku' ombyttes efter min mening. Jeg har dog heller ikke tænkt over at bruge den måde.

Potensrækken ∑a_n = ∑C_n(x-a)ⁿ ;

hvis lim_n→∞|a_n+1|/|a_n| = {  ∞ så r = 0,       0 så r = ∞,          K|x - a|, så r = 1/K for K≠ 0.

I denne opgave, er vores ∑b_n = ∑xⁿ/(1+bⁿ), så

lim_n→∞|b_n+1|/|b_n| = |xⁿ⁺¹/(1+aⁿ⁺¹)| / |xⁿ/(1+aⁿ)| = |x||(1+aⁿ⁺¹)/(1+aⁿ)|

Mere ved jeg ikke hvad jeg skal gøre.

Jeg ville prøve gøre det igen, så håber jeg I kan rette efter hvis der er noget galt.

Jeg lader b_n = xⁿ/(1+aⁿ), så har jeg med kvotientkriteriet

|b_n+1|/|b_n| = |x|(1+ aⁿ)/(1+aⁿ⁺¹) = |x|(1/aⁿ + 1)/(1/aⁿ + a)

Så lim_n→∞|b_n+1|/|b_n| = { |x|/a hvis (1/a) < 1, |x| hvis (1/a) = 1, |x| hvis 0 < a < 1.

Så r = {a hvis (1/a) < 1, 1 hvis (1/a) = 1, 1 hvis 0 < a < 1.

Derudover konvergerer denne potensrække hvis |x| < r (*).

Hvad skal jeg så svare, hvad konvergensinterval er?

Der står noget generelt om forholdkriteriet, at rækken ∑m_n

... hvis lim_n→∞ |m_n+1|/|m_n| = m, så konvergerer ∑m_n hvis m < 1, div. hvis m > 1.

I denne opgave har vi lim_n→∞|b_n+1|/|b_n| = |x|/a for (1/a) < 1, samt. rækken konvergerer hvis |x|/a < 1, altså er |x| < a (**).

Så ved vi jo, at potensrækken konvergerer hvis (*) |x| < r, og nu at den konv. hvis (**) |x| < a. Hvad gør jeg?

b_n = 1/(1+aⁿ)         ( xⁿ skal ikke med se #3)

bⁿ⁺¹/bⁿ = (1+aⁿ⁺¹)/ (1+ aⁿ) = (a^-n+a)/(a^-n+1)

a < 1      aⁿ-^-> 0 for n ->∞   aⁿ⁺¹ -> 0 for n->∞    b_n+1/b_n -> 1 for n->∞

a=1       bⁿ⁺¹/bⁿ = 2/2 = 1

a>1     a^-n -> 0 for n->∞   bn+1/bn -> a for n->∞

a ≤1 konvergensinterval ]-1; 1[

a>1   konvergensinterval  ]-a; a[

Kan man så svare, at konvergensintervallet er ]-1, 1[ for a≤1 og [-a, a] for a>1?

Bortset fra at begge intervaller er åbne så ja

[-1,1] for a≤1 og [-a,a] for a>1?

Det mener jeg ikke, da rækken divergerer ved endepunkter for begge tilfælde siden det generelle udtryk for rækken ikke går mod nul, når n går mod uendelig.

I #7 er det første interval åbent (og altså korrekt) og det andet interval lukket og dermed ikke korrekt

I #9 er begge blevet  lukket og dermed forkerte.

Netop fordi rækken er divergent i endepunkterne er det de åbne intervaller, der er korrekte.

Det er vist det sene tidspunkt eller har du glemt hvad åbne og  lukkede intervaller er for noget ?