Stikprøveundersøgelse, Vejen til Matematik B2, Opgave 168, Side 217, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Opgave 168 En virksomhed producere elektriske pærer i titusindvis. Gennem et antal stikprøveundersøgelser har virksomheden fundet frem til, at 6 % af pæreren er defekte. En forhandler af virksomhedens pærer foretager sin egen stikprøveundersøgelse. Han udtager en stikprøve på 50 pærer. Hvad er på baggrund af ovenstående sandsynligheden for at:

a) Der er ingen defekte i stikprøven.

Mit forsøg:

Jeg anvender sætning 4.2: Binomialfordeling.

Når et eksperiment med fast sandsynlighedparameter (andel) p for succes udføres n gange, og de enkelt udførelser er uafhængige af hinanden, er sandsynligheden for succes r gange givet vet:

P( X = r ) = ( n ,r) •  p^r  • ( 1 - p) ^{( n - r )}

n = 50   

P(X=0). 

                                                              50 !

hvor (n, r) = n / ( r ! • (n-r)!). =  ------------------------  = 1

                                                 ( 0 ! • ( 50 - 0) !  )

og 0,06⁰ = 1

P( X = 0) = ( 50; 0 ) • (0.06)⁰  • ( 1 - 0,06)^{50 - 0} =  1 • 1 ⋅ (0.94) ⁵⁰ =  0,0453 = 0,045.

Det samme som i facitlisten.

b) Der er to defekte i stikprøven.

Mit forsøg:

n = 50

r = 2

P ( X = 2 ) =  ( 50 , 2 )

Hvor

                                                            50 !

hvor (n, r) = n / ( r •! (n-r)!). =  ------------------------  =  1225

                                                 ( 2 ! • ( 50 - 2) ! )

og 0,060² = 0,00360

P( X = 2 ) =  ( n ,r) •  p^r  • ( 1 - p) ^{( n - r )}  = 1225 ⋅ 0,00360 ⋅ (0.94)⁴⁸ = 0,22624 = 0,226

Det samme som i facitlisten.

c) Der er flere end 5 defekte i stikprøven.

Mit forsøg:

Jeg lavet følgende tabel i Excel:

r                ( 50  0 )                 0,06^r              (1-0,94) ^{(50 -r)}                P( X = r )                 Kumulativ

0                  1                              1                       0,94^50                 0,04533073         0,04533076

1                 50                          0,06                     0,94^49                  0,14467253          0,19000326   

2             1225                          0,0036                  0,94^48                 0,22624321         0,41624647

3              1960       2,16000000*10^-3                  0,94^47                 0,2310569           0,64730337

4          230300       1,29600000*10^-5                  0,94^46                 0,17329267          0,82059604

5         2117760       7,77600000*10^-7                 0,94^45                 0,1017636             0,9223594

I Vejen til Matematik B2 side står der, man kan udregne sandsynligheden ved at lægge de enkelte sandsynligheder sammen, men det er lettere at udnytte, at summen af alle sandsynligheder er 1, og trække dem fra der ikke er med fra 1.

Derfor får jeg følgende resultat:

P ( X > 5 ) = 1 - 0,92235940 = 0,0776 ≈ 0,078.

Det samme som i facitlisten

d) Kan man på den baggrund forkaste en hypotese om, at 6 % af produktionen er defekt.

Mit forsøg:

Hvis forhandlerens stikprøveundersøgelse indeholder 10 defekte pærer så er der 10 • 100 % / 50 = 20 %

defekte. Så kan man forkaste hypotesen på at 6 % af produktionen er defekt.

I facitlisten er svaret ja på spørgsmål d.

Mit spørgsmål er, er den måde jeg løser spørgsmål d) på er den korrekt?