Matematik

Tangenter til cirkel

23. april kl. 20:05 af Oliviaaa0 - Niveau: A-niveau

Hej,

jeg har fået et spørgsmål:

På figuren ses en cirkel givet ved ligningen: (x-1)^2 + (y-4)^2 = 100, og en linje l givet ved ligningen y = 1/7x + 11. Jeg er gået i gang med at løse den ved hjælp af vektorer, da vi er begyndt på dette emne, men det, man skal, er mere indviklet end hvis man blot brugte distanceformlen og isolerede b. Kan I hjælpe mig? Jeg kan heller ikke spørge min lærer...

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. april kl. 20:26 af ringstedLC

Vi kan nok bedre hjælpe dig, hvis du forklarer hvad det er du skal "løse".

Vedhæft gerne et godt billede af opgaven!

Svar #2
23. april kl. 20:53 af Oliviaaa0

Hov, beklager! Det troede jeg, at jeg havde. Jeg skal bestemme en ligning for hver af de to tangenter til cirklen, som er parallelle med l.

Svar #3
23. april kl. 20:54 af Oliviaaa0

Et billede af opgaven:

Svar #4
23. april kl. 20:56 af Oliviaaa0

Brugbart svar (0)

Svar #5
23. april kl. 21:46 af ringstedLC

Vedhæftet fil:_0.png

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. april kl. 21:55 af ringstedLC

Koordinaterne til røringspunkterne:

- Bestem en "pæn" normalvektor for l

- Bestem dens enhedsvektor og gang denne med cirklens radius.

$\begin{align*} R_n &= C\pm \vec e_{n_l}\,r\end{}$

Svar #7
23. april kl. 21:56 af Oliviaaa0

Tak for din hjælp!

Brugbart svar (0)

Svar #8
24. april kl. 00:45 af ringstedLC

Alternativ uden vektorregning:

$\begin{align*} l'\perp l \Rightarrow a_{l'}\cdot a_{l} &= -1 \\ a_{l'} &= -\frac{1}{a_{l}}= -\frac{1}{\frac{1}{7}}=-7 \\ l' \textup{ gennem centrum}:y &= -7\cdot \bigl(x-x_C\bigr)+y_C \\ y &= -7x+11 \\ l'=c \Rightarrow \bigl(x-1\bigr)^2+\bigl((-7x+11)-4\bigr)^2 &= 10^2 \\ \left.\begin{matrix}x_{R_1} \\x_{R_2} \end{}\right\} &= \left\{\begin{matrix}1-\sqrt 2 \\1+\sqrt 2 \end{}\right. \\ \left.\begin{matrix}y_{R_1} \\ y_{R_2} \end{}\right\} =\left\{\begin{matrix}-7\cdot\bigl(1-\sqrt 2\bigr)+11 \\-7\cdot\bigl(1+\sqrt 2\bigr)+11 \end{}\right\} &= \left\{\begin{matrix}4+7\sqrt 2 \\4-7\sqrt 2 \end{}\right. \\ t: y &= a_t\cdot\bigl(x-x_R\bigr)+y_R \\ t_1: y &= \tfrac{1}{7}\cdot\Bigl(x-\bigl(1-\sqrt 2\,\bigr)\Bigr)+4+7\sqrt 2 \\ &= \tfrac{1}{7}\,x-\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{7}\sqrt 2+4+7\sqrt 2 \\ y &= \tfrac{1}{7}\,x+\tfrac{27}{7}+\tfrac{50}{7}\sqrt 2 \\ t_1: 0 &= x-7y+27+50\sqrt 2 \\ t_2: y &= \tfrac{1}{7}\cdot\Bigl(x-\bigl(1+\sqrt 2\,\bigr)\Bigr)+4-7\sqrt 2 \\ t_2: 0 &= x-7y+27-50\sqrt 2 \end{}$

Skriv et svar til: Tangenter til cirkel

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.