Arctan?

Det hænger sammen med, at tan(x) → ∞ for x → (π/2)^- og for x → (-π/2)^-

#1

Ja, den kendte jeg godt, men kan ikke helt se sammenhængen i forhold til mit spørgsmål.

Skulle det forresten ikke hedde: tan(x) → - ∞ for x → (- π/2)?

#1 Det går ikke.

#2

Ikke når man, som jeg skrev, går mod (-π/2) fra venstre. Det er korrekt, at tan(x) → -∞ for x → (-π/2)⁺ . Funktionen tan(x) er periodisk med perioden π .

#4

Hvad var det nu opløftet plus og minus betød?

#5

Det betyder gående mod værdien x₀ fra højre (+) (gennem positive forskelle x - x₀) , og fra venstre (-) (gennem negative forskelle x - x₀).

#6

Betyder x → (π/2)^- så, at man starter i punktet (0,0) og går mod venstre, eller?

#7

Nej, man går mod højre (fra venstre). Man kan starte i 0 og bevæge sig mod (π/2) .

#8

Aha, du skrev også i #1, at tan(x) → ∞  for x → (-π/2)^-. Det betyder altså det samme, men her står at x har værdierne fra nul til og med  -π/2 (gående fra venstre til højre). Hvordan kan den være negativ? Eller er det den numeriske værdi vi kigger på?

#9

Nej, her går man mod (-π/2) fra venstre, dvs fra værdier mindre end (-π/2) . Vi kigger aldeles ikke på numeriske værdier her. Det er nok nemmest at se, hvis du laver en graf af funktionen tan(x). Funktionen tan(x) er ikke defineret for x = (π/2) + p·π (p∈Z) . Funktionen går asymptotisk mod ∞ for x gående mod (π/2) fra venstre, og den går asymptotisk mod -∞ for x gående mod (-π/2) fra højre. Grafen i intervallet ]-π/2;π/2[ skal så gentages periodisk.

#10

Jeg er fuldstændig enig i det sidste du skrev, men har lidt svært ved skrivemåden plus og minus opløftet. Behøver man at forstå det for at besvare mit spørgsmål i #0?

#11

Hvis du har en alternativ skrivemåde, er du selvfølgelig velkommen til at benytte den. Men denne skrivemåde angiver den retning, i hvilken der konvergeres, og det er vigtigt at angive retningen, når funktionen ikke er kontinuert i det betragtede punkt. Jeg forsøgte at forklare, hvorfor tan(x) kunne være ∞ i både (-π/2) og (π/2) .

#12

Ok, nu har jeg fundet mig en tilfældigt graf af tan(x) fra nettet:

http://www.google.dk/imgres?imgurl=http://www.sagemath.org/calctut/pix-calctut/continuity06.png&imgrefurl=http://www.sagemath.org/calctut/continuity.html&usg=__iqvDgyJw4NeNrdBMkYPqgepQBF4=&h=370&w=600&sz=19&hl=da&start=0&zoom=1&tbnid=QI5Ppa3dF3y0iM:&tbnh=107&tbnw=174&ei=w0GnTc3SEIefOrXa-MgJ&prev=/images%3Fq%3Dtan%28x%29%26um%3D1%26hl%3Dda%26sa%3DN%26biw%3D1680%26bih%3D857%26tbm%3Disch&um=1&itbs=1&iact=rc&dur=166&oei=pkGnTaWYFY2SOv-fxO0I&page=1&ndsp=44&ved=1t:429,r:7,s:0&tx=162&ty=63

Kan du kort gennemgå "tan(x) → ∞ for x → (π/2)^- og for x → (-π/2)^-" på figuren, med evt. tal på forklaringen?

#13

Start i (0;0) og lad x vokse mod (π/2) . Så ses det, at tan(x) → ∞ , når x gøres større og større, så længe x < (π/2) .

Tilsvarende, start i (-π;0) og lad x vokse mod (-π/2) . Så ses det igen, at tan(x) → ∞ , når x gøres større og større, så længe x < (-π/2) .

#14

Ja, enig.

Ah, nu forstår jeg din tegnsætning med plus og minus. :-)

Hvordan overføres det her til arctan(∞) = ± π/2.