Integralregning

 Her er måske lidt hjælp.. Jeg fandt dette fra en opgave på nettet. Men kan stadig ikke forklare beviset:

Sætning:

Hvis f er en positiv og begrænset funktion på et interval ]a,b[
Og hvis A(x) er stamfunktion til f, så er det areal der afgrænses af f og x-aksen mellem a og b givet ved A(b)-A(a)

Bevis:
Lad f være en funktion der opfylder betingelserne i sætningen.
 

 Man benytter et "squeeze theroem".

Du er nok nødt til at tegne det, men du kan vise at

f(x)*Δx ≤ ΔA ≤ f(x+Δx)*Δx hvis f(x) er voksende, hvis f er aftagende skal du vende ulighedstegnene.

Her repræsenterer Δx en eller anden tilvækst i til x, og ΔA er arealet under grafen i intervallet [x ; (x+Δx)]
Hvis du deler med Δx får du:

f(x) ≤ ΔA/Δx ≤ f(x+Δx)

du opdager straks at ΔA/Δx ligner differenskvotienten fra differentialregning. Så hvis vi lader Δx-->0 får vi:

f(x) ≤ dA/dx ≤ f(x)

Da dA/dx går mod f(x) fra begge veje, må det være grænseværdien. Derfor er arealfunktionen en stamfunktion til f(x).

Som sagt, tegn det, ellers er det her helt uforståeligt.