Matematik
Topologi
Jeg skal snart til eksamen i matematisk analyse, og der er en mængde opgaver i topologi, som altid volder lidt problemer. Er der nogen, der eventuelt kan forklare en relativt nem måde at se og afgøre på, hvordan mængderne er defineret?
Det drejer sig eksempelvis om opgaver af følgende form:
For ethvert r∈(1,∝) betragter vi mængden
Mr={(x,y)∈R2: √(x2+y2)<1-1/r ∨ √(x2+y2)>1+1/r}
Bestem mængden M∝=∪r∈(1,∝) Mr
Bestem mængden M0=∩r∈(1,∝) Mr
og en opgave som
For ethvert r∈[1,∝) betragter vi mængden
K(r)={(x,y)∈R2: 0≤x≤1-1/(2r) ∧ 0≤y≤1}
Find B=∪r∈[1,∝) K(r) og vis, at denne ikke er kompakt.
Jeg har løst flere opgaver af denne type efterhånden, nogle korrekt, andre forkerte, et faktum er dog, at jeg føler min fremgangsmåde baserer sig mere på gætværk en stringent og logisk tankegang. Er der derfor nogle, der kan få mig tilbage på den stringente sti?
Svar #1
01. maj 2011 af peter lind
I en første opgave: kvrod(x2+y2)) < 1-1/r er det indre af en cirkel med radius 1-1/r. For r = 1 er det den tomme mængde. For r meget stor er det det nær det indre af en cirkelskive med radius nær 1. I grænsen går det mod det indre af en cirkelskive med radius 1
kvrod(x2+y2) > 1+1/r er det der ligger uden for en cirkelskive med radius 1+1/r. For r =1 har cirkelskiven en radius 1. Når r vokser falder radius og i grænsen er det det der ligger uden for cirkelskiven.
Hvis du danner fællesmængden af det, får du det der ligger uden for enhedscirklen.
Den næste går nogenlunde lige sådan. Her er det bare rektangler det drejer sig om samt at kassens højde altid er 1.
Svar #2
01. maj 2011 af Walras
Hm. Lad mig prøve med toeren så.
For r=1 finder vi, at 0≤x≤1/2 og for r --> ∝ finder vi, at 0≤x<1, hvorfor fællesmængden kan udtrykkes
B=∪r∈[1,∝) K(r)={(x,y)∈R2: 0≤x<1) ∧ 0≤y≤1}.
Kan det passe?
Svar #3
01. maj 2011 af peter lind
Ja bortset fra at du skriver fællesmængden i teksten og foreningsmængden i formlen. Dit resultat gælder for foreningsmængden.
Svar #4
01. maj 2011 af andershorsted (Slettet)
#1:
Du skriver at "For r =1 har cirkelskiven en radius 1". Mener du ikke at cirkelskiven har radius 1+1/1=2? Og så bliver fællesmængden alt uden for (eller på kanten af) cirklen med radius 2. Udtrykt med formler
∩r∈(1,∝) Mr = {(x,y)∈R2 : √(x2+y2)>=2}
Skriv et svar til: Topologi
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.