Funktionsanalyse

Det er altså meget uklart hvad du skriver.

Er x antal produceret varer?  Omkostningsfunktionen er det omkostninger ialt eller er det omkostningen pr. vare? Det samme gælder omsætningsfunktionen. Er det antal solgte varer i et eller andet tidsrum eller er det indtægten ved salg af alle varerne? eller pr. vare?

 Omsætningen er lig med Omsætning-omkostninger. Dvs:

h(x)=g(x)-f(x)=4000x-(x³-90x²+4825x+9000)

Overskuddet maksimerer du ved at aflede h(x):

h'(x)=4000-(3x²-180x+4825)=0 <=> -3x²+180x-825=0

Løsningen til ovenstående finder du som en parabel, x=5 eller x=55.

For at finde ud af, hvad der er toppunktet kan du fx indsætte 5 og 55 i h(x):

h(5)=4000*5-(5³-90*5²+4825*5+9000)=-11.000
h(55)=4000*55-(55³-90*55²+4825*55+9000)=51.500

Det er altså x=55, der maksimerer funktionen. Alternativt kunne du undersøge 2. ordensbetingelser for h(x), men det tror jeg lægger uden for, hvad der forventes af jer? Overskuddet, når det er størst er 51.500.

For at fortjenesten skal være 0, så skal h(x)=0, dvs:

h(x)=4000x-(x³-90x²+4825x+9000)=0, x=-6,29, x=18,36 og x=77,93

Rent intuitivt giver løsningen x=-6,29 dog ikke meget mening. Virksomheden kan jo ikke producerer et negativt antal varer, så den løsning kan du godt undlade. Det sidste spørgsmål om produktionsintervallet, der giver en positiv fortjeneste giver lidt sig selv nu.
Vi har regnet ud, at den maksimale fortjeneste nåes, når der produceres 55 enheder x. Og så har vi beregnet, at omsætningen er 0, når x=18,36 og x=77,93. Dvs., at fortjenesten må være positiv for alle værdier af x, der ligger mellem x=18,36 og x=77,93.

Jeg håber, at det var svar nok.

Mvh
Jeppe