Fuldstændige løsning til differantialligningen - gæt

Det er en andenordens inhomogen differentialligning.

Start med at løse den homogene del af ligningen:

y''-2y'+5y=0

Opskriv det karakteristiske polynomium:

r^2-2r+5=0,

r=(-(-2)±√((-2)^2-4*5))/2=(2±√(-16))/2=(2±4i)/2=1±2i,

således, at de karakteristiske rødder er x=1+2i eller x=1-2i.

Du kan da opskrive den fuldstændige løsning for den homogene ligning:

y=C₁e^xcos(2x)+C₂e^xsin(2x).

Find da den løsning, der løser den inhomogene del af ligningen:

y''-2y'+5y=2x+3

Et godt gæt ville være:

t=Ax+B, t'=A, t''=0,

som indsættes i differentialligningen, så

-2A+5(Ax+B)=5Ax-2A+5B=2x+3,

hvor det ses, at 5A=2, så A=2/5 og -2A+5B=3, dvs -4/5+5B=3, så B=19/25, hvorfor den fuldstændige løsning er givet ved

y=C₁e^xcos(2x)+C₂e^xsin(2x)+2/5x+19/25,

der eventuelt kan skrives

y=(C₁cos(2x)+C₂sin(2x))e^x+(10x+19)/25

skulle det ønskes.