grænseværdi og følger

Det ses nok nemmest med et eksempel. Lad følgen være givet ved a_i = 1/i i <0 altså følgen 1, 1/2, 1/3, ....

som har grænseværdien 0. Ligegyldigt hvilket tal ε du vælger kan du finde et n så i >n vil medføre at |a_i - 0| < ε. . Det gælder nemlig hvis n > 1/ε

#1

Mener du"i " er mindre end nul?

tror ikke helt jeg har fanget ideen med det

Du ret i at det er en fejl. Der skal så i > 0, Sagt med ord. Du kan gøre afstanden til grænseværdien lige så lille du vil, bare du vælger elementer som er tilstrækkelig langt henne i talfølgen.

Aha - men det 'n' du omtaler, hvad er det, et tal i talrækken?

Det er et helt tal, der angiver fra hvornår elementerne i talfølgen er tilstrækkelig tæt på grænseværdien.

 Hvornår er elementerne i talrækken så tilstrækkeligt tæt på grænseværdien?

Det gøres abstrakt med at tæt på, betyder at hvis afstanden er mindre end et vilkårligt tal ε,. så er det tilstrækkelig tæt på

 What - så når det er tilstrækkeligt tæt på, så skal det være mindre end et vilkårligt tal - så hvis jeg vælger i = 2, så er det ikke tilstrækkeligt nok?

 Forresten det du sagde i #1 " Ligegyldigt hvilket tal ε du vælger kan du finde et n så i >n vil medføre at |ai - 0| < ε. "

betyder det, at afstanden altid vil være mindre end ε ?

Nej. Det betyder at ligegyldig hvilket ε du vælger så vil elementer tilstrækkelig langt henne i følgen have en afstand, der er mindre end ε

 Jeg har fået det forklaret ε so værende et område, en "pølse", hvor der står: Følgen skal kunne komme tæt på grænseværdien og ikke bevæge sig væk igen. Hvis man lægger et  "område", skal en konvergent følge bevæge sig inden for området på et tidspunkt og blive dernede for evigt.  Vi kalder radius af pølsen for ε. Så skulle det være klart at jo mindre ε er jo "bedre er det" (hvad menes?)

Uanset hvilket ε je vælger, skal der komme en position i følgen, så alle punkter ligger inden for området. 

Er det det, som du har forklaret, blot med andre ord?

ja

 #12

Så grafen skal bevæge sig tættere og tættere på grænseværdien hele tiden, og afstanden mellem grænseværdien og følgen vil altid være mindre end ε? Hvad fortæller dette egentligt - jeg har svært ved at sætte det i nogen brugbar sammenhæng.