Matematik
Differentiabilitet/kontinuitet
Disse emner berøres jo kun kort i gymnasiet. Man får egentlig bare at vide, hvordan, at en funktion skal være sammenhængende og uden "knæk" for, at man kan tildele en differentialkvotient. Jeg er imidlertid lidt mere interesseret i det her med, at funktionen ikke må have nogen knæk. Det er selvfølgelig klart, at den ikke må have det for så vil grundlæggende sætninger som middelværditheoremet jo ikke give nogen mening.
Hvilken disciplin inden for matematikken er det, som beskæftiger sig med, hvordan funktioner egentlig opfører sig? Dvs. der må jo være noget matematik, der kan forklare, at de alment kendte funktioner som polynomier samt andre transcendente funktioner er uden knæk men "glatte" og uden større spring.
Svar #1
02. juni 2011 af Andersen11 (Slettet)
Den disciplin kaldes matematisk analyse. At de nævnte funktioner er "glatte" forklares ved, at de er differentiable. Det indgår da vist i gymnasiepensumet at vise, at bl.a. polynomier er differentiable funktioner.
Svar #2
02. juni 2011 af aaaa202 (Slettet)
Nej. Ikke længere, men jeg har hørt, at det engang indgik, nu du siger det.
Svar #3
02. juni 2011 af Andersen11 (Slettet)
#2
Men man viser da, at en sum f+g af differentiable funktioner er differentiabel, og at et produkt f·g af differentiable funktioner er differentiabelt, og ved at vise at simple funktioner som f(x) = x og f(x) = k er differentiable, har man jo allerede byggestenene til at vise, at et polynomium af en vilkårlig grad er differentiabelt.
Svar #4
02. juni 2011 af aaaa202 (Slettet)
Man viser, at differentialkvotienten for en konstant er nul og regnereglerne for en potens og som du siger sum/differens samt produktreglen? Men er det ikke snarere regneregler? Viser det, at det er tilladt at opstille udtrykket for differentialkvotienten?
Svar #5
02. juni 2011 af Andersen11 (Slettet)
#4
Det er regneregler, der viser, dels at summen af to differentiable funktioner er differentiable, og også hvorledes man finder differentialkvotienten af en sum af to funktioner (og tilsvarende for produkt, osv.). Men man beviser jo disse regneregler. Derved finder man ved gentagen anvendelse af disse regler, at ethvert polynomium er differentiabelt.
Skriv et svar til: Differentiabilitet/kontinuitet
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.