Matematik
x^n
Jeg har fået eksamens spørgsmålet:
Du skal bevise regnereglerne for differentiation af x^n
nogen der kan hjælpe? :)
Svar #1
12. juni 2011 af peter lind
brug induktion. Du kender den formodentlig for n = 0 og n=1. Hvis sætningen gælder for n får du ved brug af reglen om differentiation af et produkt (xn+1)' = (x*xn)' = x'*xn+x*(xn)' = xn+ n*x*xn-1 = xn+n*xn = (n+1)xn
Svar #3
12. juni 2011 af letgo (Slettet)
Eller anvend binomialformlen på (x+h)n og regn:
Er n et naturligt tal:
d/dx(xn)=limh->0 ((x+h)n-xn)/h=limh->0((xn+nhx(n-1)+…+hn)-xn)/h=limh->0(nx(n-1)+…+h(n-1))=nx(n-1)
Svar #4
12. juni 2011 af hjæææælp (Slettet)
#3 nu har jeg ikke sat mig ind i det men det ser indviklet ud
#1 kan du uddybe?
Svar #6
12. juni 2011 af Andersen11 (Slettet)
#4
I induktionsbeviset antager man, at formlen er korrekt for n, og så viser man, at den også er korrekt for n+1 . Vi antager altså, at
(xn)' = n·xn-1 ,
og så benytter man reglen for differentiation af et produkt til at tage det næste skridt:
(xn+1)' = (xn·x)' = (xn)'·x + xn·(x)' = n·xn-1·x + xn = n·xn + xn = (n+1)·xn ,
hvilket er i overensstemmelse med formlen for n+1 .
Da formlen er vist ad anden vej at gælde for n = 0 og n = 1, følger det af induktionsteoremet, at formlen så gælder for alle naturlige tal n .
Svar #7
12. juni 2011 af Andersen11 (Slettet)
#5
Det er da ikke to forskellige svar. I #1 findes den afledede af xn+1 , i #3 er det den afledede af xn .
Svar #9
12. juni 2011 af Andersen11 (Slettet)
I stedet for den mere besværlige binomialformel, er det måske lettere at benytte denne formel, der gælder for hvert naturligt n > 0 :
an - bn = (a-b)·(an-1 + an-2·b + an-3·b2 + ... + a2·bn-3 + a·bn-2 + bn-1) ,
hvor den højre parentes indeholder i alt n led . Man finder så, for ethvert naturligt tal n > 0, at
(x+h)n - xn = h·((x+h)n-1 + (x+h)n-2·x + (x+h)n-3·x2 + ... + (x+h)2·xn-3 + (x+h)·xn-2 + xn-1)
Den højre parentes indeholder n led af formen (x+h)k·xn-1-k , og da x+h går mod x for h gående mod 0, vil hvert af disse n led gå mod xn-1 for h gående mod 0 , dvs
( (x+h)n - xn ) / h går mod n·xn-1 for h gående mod 0 .
Dermed er formlen vist for hvert helt tal n > 0 . For n = 0, er funktionen xn lig med konstanten 1, og det er klart, at formlen også gælder her.
Hvis n er et helt tal mindre end 0 , altså et negativt helt tal, er (-n) et positivt helt tal, og vi har
(xn)' = (1/x-n)' = -1/(x-n)2 · (x-n)' = -x2n · (-n)·x-n-1 = n·xn-1
Hermed er formlen vist for ethvert helt tal n .
Skriv et svar til: x^n
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.