Integralregning

Der er naturligvis forinden foretaget analyser af selve arealbegrebet. Med polygonarealer som grundlag vises, at andre punktmængder kan tillægges et areal. Man arbejder med delmængders arealtal og viser, at for alle positive ε findes der polygoner, hvis arealforskel er mindre end ε .

Punktmængden  { (x,y) |  a ≤ x ≤ b  ∧  0 ≤ y ≤ f(x) }  tillægges således arealet   _a∫^b f(x) dx

Indskudssætningen siger:

Hvis f er begrænset i intervallet [a ; b], så gælder det for vilkårligt c, hvor a < c < b, at

f integrabel i [a ; b]  ⇔ f integrabel i [a ; c] og [c ; b] ;

og når f er integrabel i [a ; b],  er    _a∫^b f(x) dx  =  _a∫^c f(x) dx  +  _c∫^b f(x) dx .

 Men hvad så hvis c<a? Vi ved jo ikke hvad a er!

Jeg skrev tydeligt i # 1,     a < c < b     Det er dét, der er pointen i indskudssætningen.

 Nej, jeg ved godt, at du skrev det. Jeg formulerede mig nok ikke klart nok. Mit problem er, at tallet a jo er en abstraktion, så vi ved ikke hvad værdi det har. Derfor kan vi vel ikke antage, at det bare er mindre end c - jeg snakker om det tal a, som arealfunktionen er defineret udfra. 

a kan være et hvilket som helst reelt tal, når blot  f (a)  er defineret.

I en vis forstand følger (a + dx) efter a. Arealet af dette smalle "rektangel" er da:  ( (a + dx) - a )· f (a)

     =  f (a)·dx

 Okay det var også netop det jeg mente med den første besked, og hvorfor jeg synes at arealfunktionen er næsten for fantastisk til at være sand. Hvis det du siger passer, så vil integralet fra a til b jo altid give arealet fra a til b for b>a, fordi, at vi ikke har sat nogen begrænsninger på hvilket tal som a må tilhøre - altså eksisterer der uendeligt mange arealfunktioner, som vi så bruger afhængigt af den nedre grænse for integralet.
Er det korrekt? 

a og b må udtages af mængden af reelle tal, R, når blot f (a) og f (b) er defineret.

Om a < b  eller  b < a  er ikke så væsentligt.  Bliver værdien af integralet < 0 skal arealet betragtes som den absolutte værdi af det bestemte integral.

Skærer grafen x-aksen i   x₁ og x₂      så vi har       a < x₁ < x₂ < b

og skal finde arealet af punktmængden afgrænset af f (x) ,  x-aksen og  x = a  og  x = b , får vi brug for indskudssætningen:

Arealet  =  | _a∫^x1 f (x) dx | + | _x1∫^x2 f (x) dx | + | _x2∫^b f (x) dx |

 Jeg snakker ikke om, når f bliver negativ men snarere om selve beviset, som involverer arealfunktionen.
Konklusionen på det er, at integralet fra a til b er lig arealet fra a til b. Det er klart - det jeg ikke forstår er, at man så overfører, at a kan være alle mulige reelle tal. Dermed antager man jo indirekte, at integralet fra et vilkårligt tal et andet, er lig arealfunktionens værdi i det andet minus det første. Men dermed må det jo betyde, at der eksisterer en arealfunktion for ethvert reelt tal, således, at integralet fra dette tal til et andet er lig arealfunktionens værdi tilknyttet det andet tal minus arealfunktionens værdi tilknyttet det første tal(som er lig nul, fordi at vi netop bruger den arealfunktion, hvor arealet af det første tal er lig 0.)
Mit problem er altså, hvorledes man kan gå fra at definere en arealfunktion for ét bestemt tal til at sige, at integralet fra a til b er lig arealet fra a til b, fordi arealfunktionens værdi i a er lig nul - a kan jo være alle reelle tal. 
Vi kigger KUN på tilfælde, hvor f>0 

Til arealfunktionen er knyttet netop to tal, kald dem a og b, hvor  a < b .

Det giver ingen mening kun at knytte ét tal til arealfunktionen, for så er det ikke længere nogen arealfunktion.

Arealfunktionen er defineret som tilvæksten over en vilkårlig valgt stamfunktion til (primær)funktionen.

F(b) - F(a)   er arealfunktionen,      hvor   F '(x)  =  f(x)