LP- Algoriteme ?

Kald stofmængderne af R₁ og R₂ for henholdsvis r₁ og r₂ , der måles i ton. Her er r₁ og r₂ de uafhængige variable. Kald nu stofmængderne af M₁, M₂, og M₃ for henholdsvis m₁, m₂ og m₃, der måles i kg. Vi har så

m₁ = 2·r₁ + r₂

m₂ = r₁ + 3·r₂

m₃ = 3·r₁ + 3·r₂

Der skal så gælde

m₁ ≥ 8 , m₂ ≥ 5 , m₃ ≥ 12 , dvs følgende uligheder

2·r₁ + r₂ ≥ 8 ,

r₁ + 3·r₂ ≥ 5 ,

3·r₁ + 3·r₂ ≥ 12

Endvidere kan man beregne udgiften i kr.

p = 2000·r₁ + 2400·r₂

hvilken regel gælder ? og hvordan får du det til r1 + 3·r2 ≥ 5
er blevet lidt forvirret :(

#2

Jeg benytter oplysningerne i opgaven:

R₁ indeholder pr. ton 2 kg af M₁, 1 kg af M₂ og 3 kg M₃.

R₂ indeholder pr. ton 1kg af M₁, 3kg af M₂, 3 kg af M₃.

Heraf aflæser man, at har man mængden r₁ (målt i ton) af R₁ , får man mængderne (målt i kg) 2·r₁ af M₁ , 1·r₁ af M₂, og 3·r₁ af M₃ . Har man endvidere mængden r₂ (målt i ton) af R₂ , får man mængderne (målt i kg) r₂ af M₁ , 3·r₂ af M₂ , og 3·r₂ af M₃ . Deraf får man de tre udtryk for m₁, m₂, og m₃ som angivet i #1, f.eks. får man

m₂ = r₁ + 3·r₂ ,

og da der skal gælde m₂ ≥ 5 , skal der altså gælde

r₁ + 3·r₂ ≥ 5 .

Det daglige indkøb bliver da 3,8 t af R1 og 0,4 t af R2

hvorved der bliver et lille "overskud" af M3 på 0,6 kg

#4

Her har du så fundet minimum for indkøbsprisen p ? Men så langt var opgaven ikke blevet formuleret endnu.

#5

Nej - jeg har helt udeladt indkøbprisen, da det ikke umiddelbart fremgik af opgaven, at den skulle indgå i overvejelserne -

#6

Men de tre uligheder afgrænser jo et område af (r₁,r₂)-planen, hvis areal er uendeligt stort. Meningen er jo nok den, at man senere skal finde minimum for indkøbsprisen over dette område; men indtil da har man blot dette område, hvis punkter tilfredsstiller alle tre uligheder.

#7

Min løsning (uden pris-minimum) var grafisk (sådan er det jo med LP), men jeg har svært ved at se,

hvordan jeg får et pris-minimum til at indgå som en parameter på linie med mængderne -

Da der skal gælde 2·r1 + r2 ≥ 8, altså 2*2 + 1 = 5, og ifølge formlen gælder det at det skal være  ≥ 8.. hvordan kan det så passe??

Jeg ved ikke om jeg har forstået det rigtig..

#8

Men hvor kom din løsning fra? For der er tre uligheder i r₁ og r₂ , som alle er opfyldt for uendeligt mange værdier af (r₁,r₂). Det polygonhjørne (r₁;r₂) = (3,8t ; 0,4t), som du identificerer i #4, svarer til den mindste samlede stofmængde (r₁+r₂) , og det er også det hjørne, der giver den mindste indkøbspris p.

Indkøbsprisen er

p = 2000·r₁ + 2400·r₂

der vokser stærkest i retning af vektoren ∇p = 400·(5 ; 6) , og derfor aftager stærkest i retning af vektoren 400·(-5 ; -6). Man finder minimum for p ved at parallelforskyde en ret linie vinkelret på vektoren ∇p i retningen -∇p og opsøge det sidste punkt i løsningsmængden for de tre uligheder, der skæres af den parallelforskudte linie.

#9

De mulige punkter (r₁ ; r₂) skal opfylde alle tre uligheder

2·r₁ + r₂ ≥ 8 ,

r₁ + 3·r₂ ≥ 5 ,

3·r₁ + 3·r₂ ≥ 12

som angivet i #1. Fællesmængden for de tre uligheders løsningsmængder bliver en del af første kvadrant.

2·r1 + r2 ≥ 8 er en ulighed, som du skal bruge som forudsætning, idet den bare udtrykker,

hvad der står i opgaveteksten, men hvorfra har du de værdier for r1 ogr2, som du raskvæk indsætter ?

 Altså 2*2 + 1 = 5 ??

oki tak..