Årlig vækstrate

Hvis du ønsker en formel for vækstraten, kan du approksimere den med

Med store chancer for at lyde dum; hvad betyder de der streget over x'et? :-)

Hvis du vil have en formel for den gennemsnitlige årlige vækstrate, kan du ligeledes approksimere, idet

idet vi benytter, at . Vækstraten er i øvrigt udtryk ved r, som det er normal kutyme ved eksponentialfunktioner. 

#2 Stregerne er blot en måde at udtrykke på, at det er basisåret. 

Jeg er stadig rigtig forvirret! Der er ikke en lettere måde at gøre det på? :-)

Lad mig komme med et eksempel. I 1990 var det danske real BNP 1.001.382 mio. kr. og i 1991 var det på 1.014.404 mio. kr.

Fra 1990-1991 steg real BNP altså med

(1.014.404-1.001.382)/1.001.382=0,01292

dvs med omkring 1,3 %.

Approksimativt kunne dette udregnes som

ln(1.014.404)-ln(1.001-382)=0,013004,

der næsten er nøjagtigt det samme.

Men du skal huske, at approksimationerne kun duer, hvis der ikke er for stor forskel i mellem dine tal (og dine tal ikke er tæt på mindre end eller lig med 1)

RETTELSE: I #3 skal det være (1+r) hele udregningen igennem, hvorfor der benyttes, at (1+r)≈r. Resultatet er dog korrekt nok, det var en mindre skrivefejl, men nu er den nævnt.

Tror jeg har forstået den den nu! :-) Men i denne opgave har jeg flere tal;
år 1999 - 4953
år 2000 - 5310
år 2001 - 5676
år 2002 - 6100
år 2003 - 6529
år 2004 - 7000

Hvordan finder jeg den årlige vækstrate af disse? og hvordan får jeg det til at ende med at være et procenttal? :-) 

For at lave det om til procent skal du blot gange med 100 %.

Indsæt tallet fra år 1999 som x-streg og tallet fra 2000 som x. 

Indsæt tallet fra år 2000 som x-streg og tallet fra 2001 som x.

Sådan kan du fortsætte og udregne alle vækstraterne.

Men hvis du blot skal udregne vækstrater, bør du benytte de eksakte formler, da det altid vil være mere præcist. De approksimative formler er kun til for at kunne linearisere, hvilket kan være meget smart til tider. I økonomi lineariseres ofte, når der arbejdes med statistik.

Mange tak for hjælpen! :-)

Det var så lidt. Hvordan kom du på idéen med at udtrykke vækstraterne som logaritmer?

Det sagde min kære matematiklærer at jeg skulle :-)

Okay. Læg mærke til rettelses-afsnittet i #5 til #3. 

Det er i øvrigt muligt, at din lærer mener, at du skal finde den gennemsnitlige årlige vækstrate og ikke blot den årlige vækstrate (for hvert år). Dette kan gøres ved at udnytte formlen i #3, så du får, at

r=1/(2004-1999)*(ln(7000)-ln(4953))

som giver

r=0,069,

dvs den gennemsnitlige årlige vækstrate er 6,9 %.

Men du kan også lave opgaven på en anden måde, hvor du benytter lineær regression. Som jeg forklarede, benytter man normalt logaritmerne til at linearisere. Hvis du tager ln til alle dine tal og sætter 1999 til år 0, da kan du få lommeregneren til at estimere en lineær funktion ved at indskrive

list1   list2

0        ln(4953)

1        ln(5310)

2        ln(5676)

3        ln(6100)

4        ln(6529)

5        ln(7000)

i stats/list editor. Bed den da estimere en lineær regression af formen f(x)=ax+b, og du vil da få forskriften

f(x)=8,51+0,069x,

hvor du ser, at f(x) vokser gennemsnitligt med 0,069*100%=6.9 % hvert eneste år. 

I matematikkens verden kaldes koefficienten foran x (i dette tilfælde 0,069) for en semi-elasticitet til f(x) med hensyn til x.

Metoderne er altså ens. Måske er det dette sidste din lærer har ment med logaritmerne. Det giver ihvertfald mening med gymnasiets pensum for lineære regression, når du nu har så mange tal og år.

Nu sad jeg lige googlede lidt da jeg støtte ind på dette. Det er meget flot skrevet samt forklaret Walras. Men i svar #7 skriver du det er bedst at benytte de eksrate formler... hvad er de ekstrate formler?

:)