echelonform

Din totalmatrix er den matrix, der indeholder information om både koefficienter og løsninger til ligningssystemet.

For

2x+3y+z=2

3x+2y+2z=2

4x+y+2z=-1

er den tilhørende totalmatrix:

2 3 1 l  2

3 2 2 l  2

4 1 2 l -1
 

Hvis du omformer denne med rækkeoperationer til echelon, får du, at

1 0 0 | -2

0 1 0 | 1

0 0 1 | 3

så du kan aflæse, at

x=-2, y=1 og z=3

En echelonmatrix er kendetegnet ved, at der er ét initialettal i hver række, dvs hver eneste række skal begynde med et ettal, men der må godt være rene nulrækker, dvs en række kun med nuller (i så fald skal de stå nederst). Over og under ettallerne må der ikke stå andet end nul. Præcis som du ser i ovenstående echelonmatrix. Jo højere række, jo før skal initialettallet stå - altså i første række står initialettallet i første søjle, i andet række står ettallet i anden søjle et cetera, indtil eventuelle rækker med rene nuller kommer.

Du kan altså ikke have en echelonmatrix, der

1 x | x

0 1 | x

For at omforme til echelon:

Hvis vi betragter totalmatricen

2 3 1 l  2

3 2 2 l  2

4 1 2 l -1

og trækker første række 2 gange fra i tredje række, da

2 3 1  | 2

3 2 2  |  2

0 -5 0 | -5

hvorefter vi trækker første række en gang fra i anden række, så

2 3 1  | 2

1 -1 1 | 0

0 -5 0 | -5

Træk nu anden række to gange fra første række og byt om på dem, så

1 -1 1  | 0

0 5 -1  | 2

0 -5 0  | -5

Læg anden række en gang til tredje række for at opnå

1 -1 1  | 0

0 5 -1  | 2

0 0 -1   | -3

Gang nu sidste række igennem med -1 og læg den da en gang til i anden række for at få

1 -1 1  | 0

0  5  0 | 5

0  0  1| 3

Gang anden række med 1/5, så

1 -1 1 | 0

0  1  0 | 1

0  0 1 | 3

Læg nu anden række en gang til i første række. Træk samtidig tredje række en gang fra i første række, da opnår du, at

1 0 0 | -2

0 1 0 | 1

0 0 1 | 3

hvormed der er omformet til echelon, så løsningen på ligningssystemet kan aflæses.

Benyt dig eventuelt af http://www.math.odu.edu/~bogacki/cgi-bin/lat.cgi?c=rref til hjælp. Det er en facilitet, hvor du kan skrive din matrix ind i, hvorefter den giver dig en løsning med alle skridt (da man kan forkorte på et utal af måder, er der ikke sikkert, at ovenstående stemmer fuldt overens med programmets). En TI-89 Titanium kan også forkorte til echelon. Den kræver blot din totalmatrix i rette statement. Prøv eksempelvis med

rref([2,3,1,1;3,2,2,2;4,1,2,-1])

da skulle den gerne komme med samme løsning som ovenstående. Hvis statemented kan være svært at huske, så står rref for reduced row echelon form.

JEg sidder og regner og regner og regner og kan slet ikke få de værdier? HVad er dit første skridt fra totalmatrixen frem mod echelonformen?

#3 Se #2.

Erj.. Tak.. Det havde du gjort!